Torsion (mécanique des solides)

Formules et grandeurs fondamentales

Pour un arbre circulaire homogène en torsion pure, la contrainte de cisaillement à la distance r du centre est proportionnelle à r : τ_{θz} = T r / J, où T est le couple appliqué et J le moment d'inertie polaire de la section.

La contrainte maximale se produit en périphérie (r = c) : τ_max = T c / J. L'angle de torsion total d'une pièce d longueur L, en petite déformation linéaire, s'exprime par : θ = T L / (J G), où G est le module de cisaillement du matériau. L'angle par unité de longueur est θ' = T/(J G).

Moment d'inertie polaire et sections courantes

• Pour une section circulaire pleine de rayon R : J = (π/2) R^4.
• Pour un tube circulaire (rayon extérieur R_o et intérieur R_i) : J = (π/2)(R_o^4 − R_i^4).

Ces expressions montrent pourquoi les sections à grand rayon extérieur mais peu d'épaisseur sont efficaces contre la torsion : elles augmentent J sans ajouter trop de masse.

Comportement selon la forme de la section

Les formules précédentes sont exactes pour des sections circulaires et l'hypothèse de torsion uniforme (Saint‑Venant). Pour les sections non circulaires, la distribution des contraintes est plus complexe et le phénomène de gauchissement (warping) peut apparaître : la section ne reste pas plane et des contraintes longitudinales supplémentaires se développent. On introduit alors une constante de torsion (souvent notée J_t) distincte du simple moment d'inertie polaire.

Applications et limites pratiques

La torsion intervient dans les arbres de transmission, les barres de torsion pour suspension, les manivelles et tout élément transmettant un couple. En conception, on vérifie que τ_max reste en dessous de la résistance en cisaillement admissible et que l'angle de torsion ne compromet pas le fonctionnement. En cas de sollicitations combinées (torsion + flexion), il faut utiliser des critères d'endommagement adaptés. Au-delà de l'élasticité, la pièce peut céder par rupture par cisaillement ou subir une déformation plastique importante.

Aspects historiques et théoriques

Le problème de la torsion a été étudié au XIXe siècle par des mathématiciens et ingénieurs qui ont posé les bases du calcul des contraintes et introduit des fonctions d'état de contrainte (méthode de Prandtl, principe de Saint‑Venant). Ces résultats restent à la base des méthodes d'analyse actuelles, complétées par la mécanique numérique (éléments finis) lorsque la géométrie ou les conditions aux limites rendent les solutions analytiques inapplicables.

Remarque : Les formules ci-dessus reposent sur l'hypothèse de matériau élastique linéaire, de petits déplacements et d'une distribution de contrainte admissible. Pour des sections minces, ouvertes ou des pièces soumises à des concentrations de contrainte, des modèles spécifiques doivent être employés.