Espace topologique
Un espace topologique est un espace étudié en topologie, les mathématiques de la structure des formes. En gros, c'est un ensemble de choses (appelées points) ainsi qu'un moyen de savoir quelles choses sont proches les unes des autres.
Plus précisément, un espace topologique possède un certain type d'ensemble, appelé ensemble ouvert. Les ensembles ouverts sont importants car ils permettent de parler de points proches d'un autre point, appelé voisinage du point. Un voisinage d'un point est simplement un ensemble ouvert contenant ce point. Si l'on n'avait pas le concept d'ensembles ouverts, on ne pourrait pas définir les quartiers de manière satisfaisante. Si l'on essaie de définir le voisinage d'un point comme un ensemble contenant ce point, on peut se contenter d'inclure ce point et ce point uniquement, sans tenir compte des points proches ou éloignés. Nous avons également le concept d'ensembles fermés, qui sont des compléments des ensembles ouverts. C'est-à-dire que tous les points n'appartenant pas à un certain ensemble ouvert forment un ensemble fermé.
Les ensembles ouverts doivent suivre certaines règles afin de correspondre à nos idées de proximité. L'union d'un nombre quelconque de jeux ouverts doit être ouverte, et l'union d'un nombre fini de jeux fermés doit être fermée. (La deuxième règle ne fonctionne que pour un nombre fini d'ensembles fermés. En effet, dans de nombreux cas, un ensemble contenant un seul point est fermé. Tout ensemble est constitué de points. Si la deuxième règle s'appliquait à un nombre infini d'ensembles fermés, alors chaque ensemble serait fermé). Dans un cas particulier, l'ensemble contenant chaque point est à la fois ouvert et fermé. L'ensemble ne contenant aucun point est également à la fois ouvert et fermé.
Un ensemble de points peut avoir plusieurs définitions différentes de ce qu'est un ensemble ouvert. On peut considérer que seuls certains ensembles sont ouverts, ou que plusieurs ensembles sont ouverts. On peut même considérer que chaque ensemble est ouvert. Un même ensemble avec différentes définitions d'ensembles ouverts forme des espaces topologiques différents.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un espace topologique ?
R : Un espace topologique est un ensemble de points et un moyen de savoir quelles choses sont proches les unes des autres. Il est étudié dans le cadre des mathématiques de la structure des formes.
Q : Que sont les ensembles ouverts ?
R : Les ensembles ouverts sont importants car ils permettent de parler de points proches d'un autre point, appelé voisinage du point. Ils sont définis comme certains types d'ensembles qui peuvent être utilisés pour définir les voisinages de manière satisfaisante.
Q : Que doivent respecter les ensembles ouverts ?
R : Les ensembles ouverts doivent respecter certaines règles afin de correspondre à nos idées de proximité. L'union d'un nombre quelconque d'ensembles ouverts doit être ouverte, et l'union d'un nombre fini d'ensembles fermés doit être fermée.
Q : Quel est le cas particulier des ensembles ouverts et fermés ?
R : Le cas particulier des ensembles ouverts et fermés est que l'ensemble contenant chaque point est à la fois ouvert et fermé, de même que l'ensemble ne contenant aucun point est à la fois ouvert et fermé.
Q : Comment les différentes définitions affectent-elles les espaces topologiques ?
R : Des définitions différentes de ce qu'est un ensemble ouvert peuvent affecter les espaces topologiques en considérant seulement certains ensembles comme ouverts ou plus que d'habitude, ou même en considérant chaque ensemble comme ouvert.
Q : Une infinité d'ensembles fermés peuvent-ils former un ensemble quelconque ?
R : Non, si un nombre infini d'ensembles fermés était autorisé, alors tout ensemble serait considéré comme fermé puisque tout ensemble n'est constitué que de points.
