Theorema egregium
Le Théorème Egregium de Gauss (du latin "Remarkable Theorem") est un résultat majeur de la géométrie différentielle prouvée par Carl Friedrich Gauss. Le théorème porte sur la courbure des surfaces. Le théorème indique que la courbure peut être déterminée en mesurant les angles, les distances et leurs taux sur une surface uniquement. Il n'est pas nécessaire de parler de la manière particulière dont la surface est encastrée dans l'espace euclidien tridimensionnel environnant. En d'autres termes, la courbure gaussienne d'une surface ne change pas si l'on plie la surface sans l'étirer.
Gauss a présenté le théorème de cette manière (traduit du latin) :
C'est pourquoi la formule de l'article précédent conduit elle-même au remarquable Théorème. Si une surface incurvée se développe sur une autre surface quelconque, la mesure de la courbure en chaque point reste inchangée.
Le théorème est "remarquable" parce que la définition de départ de la courbure gaussienne utilise directement la position de la surface dans l'espace. Il est donc assez surprenant que le résultat ne dépende pas de son encastrement malgré toutes les déformations en flexion et en torsion subies.
Une des conséquences de la Théorie de l'Egregium est que la Terre ne peut pas être affichée sur une carte sans distorsion. La projection de Mercator, montrée ici, préserve les angles mais modifie la surface. Par exemple, l'Antarctique est montré beaucoup plus grand qu'il ne l'est en réalité.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que le Theorema Egregium de Gauss ?
R : Le théorème de Gauss est un résultat majeur de la géométrie différentielle concernant la courbure des surfaces, prouvé par Carl Friedrich Gauss.
Q : Comment la courbure peut-elle être déterminée, selon le théorème de l'égrégore de Gauss ?
R : Selon le théorème de Gauss, la courbure peut être déterminée en mesurant les angles, les distances et leurs taux sur une surface seule.
Q : Est-il nécessaire de parler de la manière particulière dont la surface est intégrée dans l'espace euclidien tridimensionnel qui l'entoure pour déterminer la courbure ?
R : Non, il n'est pas nécessaire de parler de la manière particulière dont la surface est intégrée dans l'espace euclidien tridimensionnel qui l'entoure pour déterminer la courbure selon le Théorème Egregium de Gauss.
Q : La courbure gaussienne d'une surface change-t-elle si l'on plie la surface sans l'étirer ?
R : Non, la courbure de Gauss d'une surface ne change pas si l'on courbe la surface sans l'étirer, conformément au théorème d'égrégore de Gauss.
Q : Qui a présenté le théorème de cette manière ?
R : Gauss a présenté le théorème de cette manière.
Q : En quoi le théorème est-il remarquable ?
R : Le théorème est "remarquable" parce que la définition initiale de la courbure gaussienne utilise directement la position de la surface dans l'espace. Il est donc tout à fait surprenant que le résultat ne dépende pas de son encastrement malgré toutes les déformations de flexion et de torsion subies.
Q : De quelle manière Gauss a-t-il présenté le théorème ?
R : Gauss a présenté le théorème de telle manière que si une surface courbe est développée sur une autre surface, la mesure de la courbure en chaque point reste inchangée.
