Théorème
Un théorème est une idée qui a fait ses preuves en mathématiques. Les théorèmes sont prouvés en utilisant la logique et d'autres théorèmes qui ont déjà été prouvés. Un théorème que quelqu'un doit prouver pour pouvoir prouver un autre théorème est appelé un lemme. Les théorèmes sont constitués de deux parties, il y a les hypothèses et les conclusions.
Les théorèmes utilisent la déduction, contrairement aux théories qui sont empiriques.
Certains théorèmes sont triviaux, ils découlent directement des propositions. D'autres théorèmes sont dits "profonds", leur preuve est longue et difficile. Parfois, ces preuves concernent d'autres domaines des mathématiques ou montrent des liens entre différents domaines. Un théorème peut être simple à énoncer et pourtant être profond. Un excellent exemple est le dernier théorème de Fermat, et il existe de nombreux autres exemples de théorèmes simples mais profonds en théorie des nombres et en combinatoire, entre autres.
Il existe d'autres théorèmes pour lesquels une preuve est connue, mais elle ne peut pas être facilement mise par écrit. Parmi les meilleurs exemples, on peut citer le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler. Ces deux théorèmes ne sont connus pour être vrais qu'en les réduisant à une recherche par calcul qui est ensuite vérifiée par un programme informatique. Au début, de nombreux mathématiciens n'acceptaient pas cette forme de preuve, mais elle est devenue plus largement acceptée ces dernières années. Le mathématicien Doron Zeilberger est même allé jusqu'à affirmer que ce sont peut-être les seuls résultats non triviaux que les mathématiciens ont jamais prouvés. De nombreux théorèmes mathématiques peuvent être réduits à un calcul plus simple, notamment les identités polynomiales, les identités trigonométriques et les identités hypergéométriques.
Le théorème de Pythagore a au moins 370 preuves connues.
Livres
- Heath, Sir Thomas Little (1897), Les œuvres d'Archimède, Douvres, récupéré 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). L'homme qui n'aimait que les chiffres : The Story of Paul Erdős et la recherche de la vérité mathématique. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko ; Wilf, Herbert ; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Lien externe dans |title= (aide)CS1 maint : noms multiples : liste des auteurs (lien)
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un théorème ?
R : Un théorème est une idée dont la véracité a été démontrée en mathématiques à l'aide de la logique et d'autres théorèmes déjà prouvés.
Q : Qu'est-ce qu'un lemme ?
R : Un lemme est un théorème mineur qu'il faut prouver pour démontrer un théorème majeur.
Q : Comment sont constitués les théorèmes ?
R : Les théorèmes sont constitués de deux parties - hypothèses et conclusions - et font appel à la déduction plutôt qu'à des théories empiriques.
Q : Tous les théorèmes sont-ils difficiles à prouver ?
R : Non, certains théorèmes sont triviaux puisqu'ils découlent directement de propositions, tandis que d'autres nécessitent des preuves longues et difficiles qui font appel à d'autres domaines des mathématiques ou qui montrent des liens entre différents domaines.
Q : Un théorème peut-il être à la fois simple et profond ?
R : Oui, par exemple le dernier théorème de Fermat, qui est simple à énoncer mais dont la preuve est longue et difficile.
Q : Existe-t-il des théorèmes dont la preuve est connue mais qui ne peuvent pas être facilement écrits ?
R : Oui, par exemple le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler, qui ne peuvent être vérifiés qu'en les faisant passer par des programmes informatiques.
Q : Les théorèmes mathématiques peuvent-ils parfois être réduits à des calculs plus simples ?
R : Oui, les théorèmes mathématiques peuvent parfois être réduits à des calculs plus simples tels que les identités polynomiales, les identités trigonométriques ou les identités hypergéométriques.
