Un théorème est une idée qui a fait ses preuves en mathématiques. Les théorèmes sont prouvés en utilisant la logique et d'autres théorèmes qui ont déjà été prouvés. Un théorème que quelqu'un doit prouver pour pouvoir prouver un autre théorème est appelé un lemme. Les théorèmes sont constitués de deux parties, il y a les hypothèses et les conclusions.
Les théorèmes utilisent la déduction, contrairement aux théories qui sont empiriques.
Certains théorèmes sont triviaux, ils découlent directement des propositions. D'autres théorèmes sont dits "profonds", leur preuve est longue et difficile. Parfois, ces preuves concernent d'autres domaines des mathématiques ou montrent des liens entre différents domaines. Un théorème peut être simple à énoncer et pourtant être profond. Un excellent exemple est le dernier théorème de Fermat, et il existe de nombreux autres exemples de théorèmes simples mais profonds en théorie des nombres et en combinatoire, entre autres.
Il existe d'autres théorèmes pour lesquels une preuve est connue, mais elle ne peut pas être facilement mise par écrit. Parmi les meilleurs exemples, on peut citer le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler. Ces deux théorèmes ne sont connus pour être vrais qu'en les réduisant à une recherche par calcul qui est ensuite vérifiée par un programme informatique. Au début, de nombreux mathématiciens n'acceptaient pas cette forme de preuve, mais elle est devenue plus largement acceptée ces dernières années. Le mathématicien Doron Zeilberger est même allé jusqu'à affirmer que ce sont peut-être les seuls résultats non triviaux que les mathématiciens ont jamais prouvés. De nombreux théorèmes mathématiques peuvent être réduits à un calcul plus simple, notamment les identités polynomiales, les identités trigonométriques et les identités hypergéométriques.
