Théorème de Bayes

Formule

L'équation utilisée est la suivante :

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

Où :

• P(A) est la probabilité antérieure ou la probabilité marginale de A. Elle est "antérieure" en ce sens qu'elle ne tient compte d'aucune information sur B.
• P(A|B) est la probabilité conditionnelle de A, étant donné B. Elle est également appelée probabilité postérieure car elle est dérivée de ou dépend de la valeur spécifiée de B.
• P(B|A) est la probabilité conditionnelle de B par rapport à A. Elle est également appelée probabilité.
• P(B) est la probabilité antérieure ou marginale de B, et agit comme une constante normalisante.

Exemple

Voici un exemple simple : Il y a 40 % de chances qu'il pleuve le dimanche. S'il pleut le dimanche, il y a 10 % de chances qu'il pleuve le lundi. S'il n'a pas plu dimanche, il y a 80 % de chances qu'il pleuve lundi.

"Il pleut dimanche" est l'événement A, et "Il pleut lundi" est l'événement B.

• P( A ) = 0,40 = Probabilité de pluie le dimanche.
• P( A` ) = 0,60 = Probabilité d'absence de pluie le dimanche.
• P( B | A ) = 0,10 = Probabilité de pluie lundi, s'il a plu dimanche.
• P( B` | A ) = 0,90 = Probabilité d'absence de pluie lundi, s'il a plu dimanche.
• P( B | A` ) = 0,80 = Probabilité de pluie lundi, s'il n'a pas plu dimanche.
• P( B` |A` ) = 0,20 = Probabilité d'absence de pluie lundi, s'il n'a pas plu dimanche.

La première chose que nous calculons normalement est la probabilité qu'il pleuve lundi : Il s'agit de la somme des probabilités de "Pluie le dimanche et pluie le lundi" et "Pas de pluie le dimanche et pluie le lundi".

0,40 × 0,10 + 0,60 × 0,80 = 0,52 = 52 % {\style d'affichage 0,40\fois 0,10+0,60\fois 0,80=0,52=52\%} de chance

Mais qu'en est-il si nous disons : "Il a plu lundi. Quelle est la probabilité qu'il ait plu dimanche ? C'est là qu'intervient le théorème de Bayes. Il nous permet de calculer la probabilité d'un événement antérieur, étant donné le résultat d'un événement postérieur.

L'équation utilisée est la suivante :

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

Dans notre cas, la "pluie du dimanche" est l'événement A, et la "pluie du lundi" est l'événement B.

• P(B|A) = 0,10 = Probabilité de pluie lundi, s'il a plu dimanche.
• P(A) = 0,40 = Probabilité de pluie le dimanche.
• P(B) = 0,52 = Probabilité de pluie lundi.

Donc, pour calculer la probabilité qu'il ait plu dimanche, étant donné qu'il a plu lundi :

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

ou :

P ( A | B ) = 0.10 ∗ 0.40 0.52 = .0769 {\displaystyle P(A|B)={\frac {0.10*0.40}{0.52}}=.0769}

En d'autres termes, s'il a plu lundi, il y a 7,69 % de chances qu'il ait plu dimanche.

Explication intuitive

Pour calculer la probabilité qu'il ait plu dimanche, étant donné qu'il a plu lundi, nous pouvons prendre les mesures suivantes :

• Nous savons qu'il a plu lundi. Par conséquent, la probabilité totale est P(B).
• La probabilité qu'il ait plu dimanche est P(A).
• La probabilité qu'il ait plu lundi, étant donné qu'il a plu dimanche, est P(B|A).
• La probabilité de pluie le dimanche ET le lundi est P(A)*P(B|A).
• Par conséquent, la probabilité totale qu'il ait plu dimanche, étant donné qu'il a plu lundi, est la probabilité qu'il ait plu dimanche et lundi divisée par la probabilité totale qu'il ait plu lundi.

Par conséquent,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

Une autre façon de voir cela, qui montre d'où vient le théorème de Bayes, est de considérer la probabilité P(AB) qu'il pleuve à la fois le dimanche et le lundi. Cette probabilité peut être calculée de deux manières différentes, qui donnent la même réponse pour P(AB) :

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) [style d'affichage P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

Le théorème de Bayes n'est qu'une autre façon d'écrire cette équation.