Série de Taylor

Une série de Taylor est une idée utilisée en informatique, calcul, chimie, physique et autres types de mathématiques de haut niveau. C'est une série qui est utilisée pour créer une estimation (supposition) de ce à quoi ressemble une fonction. Il existe également un type spécial de série de Taylor appelé série de Maclaurin.

La théorie qui sous-tend la série de Taylor est que si un point est choisi sur le plan des coordonnées (axes x et y), il est alors possible de deviner à quoi ressemblera une fonction dans la zone autour de ce point. Pour ce faire, on prend les dérivées de la fonction et on les additionne. L'idée est qu'il est possible d'additionner le nombre infini de dérivées et d'obtenir une seule somme finie.

En mathématiques, une série de Taylor montre une fonction comme la somme d'une série infinie. Les termes de la somme sont tirés des dérivés de la fonction. Les séries de Taylor proviennent du théorème de Taylor.

Zoom

Une animation qui montre comment une série de Taylor peut être utilisée pour se rapprocher d'une fonction. La ligne bleue montre la fonction exponentielle f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}{\displaystyle f(x)=e^{x}} . Les lignes rouges indiquent la somme de n dérivés, c'est-à-dire n+1 termes dans la série de Taylor. Plus n augmente, plus la ligne rouge se rapproche de la ligne bleue.

Histoire

L'idée de cette série est venue pour la première fois du philosophe grec Zénon d'Eléa. Le paradoxe a appelé le résultat "zénon est parodoxe". Il pensait qu'il serait impossible d'additionner un nombre infini de valeurs et d'obtenir une seule valeur finie en conséquence.

Un autre philosophe grec, Aristote, a apporté une réponse à la question philosophique. Mais c'est Archimède qui a trouvé une solution mathématique en utilisant sa méthode d'épuisement. Il a pu prouver que lorsqu'une chose est divisée en un nombre infini de petits morceaux, ceux-ci s'additionneront encore pour former un seul tout lorsque tous les morceaux seront à nouveau réunis. L'ancien mathématicien chinois Liu Hui a prouvé la même chose plusieurs centaines d'années plus tard.

Les premiers exemples connus de la série Taylor sont l'œuvre de Mādhava ou Sañgamāgrama en Inde dans les années 1300. Plus tard, des mathématiciens indiens ont écrit sur son travail avec les fonctions trigonométriques du sinus, du cosinus, de la tangente et de l'arctangente. Aucun des écrits ou documents de Mādhava n'existe encore aujourd'hui. D'autres mathématiciens ont basé leurs travaux sur les découvertes de Mādhava et ont travaillé davantage avec ces séries jusqu'aux années 1500.

James Gregory, un mathématicien écossais, a travaillé dans ce domaine dans les années 1600. Gregory a étudié la série de Taylor et a publié plusieurs séries de Maclaurin. En 1715, Brook Taylor a découvert une méthode générale pour appliquer la série à toutes les fonctions. (Toutes les recherches précédentes ont montré comment appliquer la méthode à des fonctions spécifiques seulement). Colin Maclaurin a publié un cas particulier de la série de Taylor dans les années 1700. Cette série, qui est basée autour de zéro, est appelée la série de Maclaurin.

Définition

Une série de Taylor peut être utilisée pour décrire toute fonction ƒ(x) qui est une fonction lisse (ou, en termes mathématiques, "infiniment différenciable".) La fonction ƒ peut être réelle ou complexe. La série de Taylor est ensuite utilisée pour décrire ce à quoi ressemble la fonction dans le voisinage d'un certain nombre a.

Cette série de Taylor, écrite comme une série de pouvoir, ressemble à :

f (a ) + f ′ (a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + . ... f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

Cette formule peut également être écrite en notation sigma as :

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Ici n ! est le factoriel de n. ƒ (n)(a) est la nième dérivée de ƒ au point a. a {\displaystyle a} esta un nombre dans le domaine de la fonction. Si la série de Taylor d'une fonction est égale à cette fonction, la fonction est appelée "fonction analytique".

Série Maclaurin

Quand a = 0 {\displaystyle a=0}{\displaystyle a=0} la fonction est appelée série de Maclaurin. La série de Maclaurin écrite comme une série de puissance ressemble à :

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + . . f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

Lorsqu'elle est écrite en notation sigma, la série Maclaurin l'est :

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Série Common Taylor

Voici quelques séries importantes de Taylor et de Maclaurin.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ for all x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}{5!}}-\cdots {\text{ for all}x\ ! }{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ for all x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all}x\ ! }{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pour tous x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all}}x\ ! }{\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pour tous x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }x\ ! }{\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pour tous x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all}x\ ! }{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pour tous | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all}|x|<1}{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n for all | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n) !}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}{3}}+{\frac {2x^{5}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {pi }{2}}\ !} }{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

B{\displaystyle B_{n}} n est le nième nombre de Bernoulli et ln est{\displaystyle \ln } le logarithme naturel.

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'une série Taylor ?


R : Une série de Taylor est une idée utilisée en informatique, en calcul, en chimie, en physique et dans d'autres types de mathématiques de haut niveau. Il s'agit d'une série utilisée pour créer une estimation (une supposition) de ce à quoi ressemble une fonction.

Q : Quelle est la différence entre les séries de Taylor et les séries de Maclaurin ?


R : Il existe également un type particulier de série de Taylor appelé série de Maclaurin.

Q : Quelle est la théorie qui sous-tend la série de Taylor ?


R : La théorie qui sous-tend les séries de Taylor est que si l'on choisit un point sur le plan de coordonnées (axes x et y), il est possible de deviner à quoi ressemblera une fonction dans la zone autour de ce point.

Q : Comment la fonction est-elle créée à l'aide des séries de Taylor ?


R : On prend les dérivées de la fonction et on les additionne. L'idée est qu'il est possible d'additionner le nombre infini de dérivées et d'obtenir une seule somme finie.

Q : Que représente une série de Taylor en mathématiques ?


R : En mathématiques, une série de Taylor représente une fonction comme la somme d'une série infinie. Les termes de la somme sont tirés des dérivées de la fonction.

Q : D'où viennent les séries de Taylor ?


R : Les séries de Taylor proviennent du théorème de Taylor.

Q : Dans quels domaines la série de Taylor est-elle couramment utilisée ?


R : Les séries de Taylor sont couramment utilisées en informatique, en calcul, en chimie, en physique et dans d'autres types de mathématiques de haut niveau.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3