Série de Taylor

L'idée de cette série est venue pour la première fois du philosophe grec Zénon d'Eléa. Le paradoxe a appelé le résultat "zénon est parodoxe". Il pensait qu'il serait impossible d'additionner un nombre infini de valeurs et d'obtenir une seule valeur finie en conséquence.

Un autre philosophe grec, Aristote, a apporté une réponse à la question philosophique. Mais c'est Archimède qui a trouvé une solution mathématique en utilisant sa méthode d'épuisement. Il a pu prouver que lorsqu'une chose est divisée en un nombre infini de petits morceaux, ceux-ci s'additionneront encore pour former un seul tout lorsque tous les morceaux seront à nouveau réunis. L'ancien mathématicien chinois Liu Hui a prouvé la même chose plusieurs centaines d'années plus tard.

Les premiers exemples connus de la série Taylor sont l'œuvre de Mādhava ou Sañgamāgrama en Inde dans les années 1300. Plus tard, des mathématiciens indiens ont écrit sur son travail avec les fonctions trigonométriques du sinus, du cosinus, de la tangente et de l'arctangente. Aucun des écrits ou documents de Mādhava n'existe encore aujourd'hui. D'autres mathématiciens ont basé leurs travaux sur les découvertes de Mādhava et ont travaillé davantage avec ces séries jusqu'aux années 1500.

James Gregory, un mathématicien écossais, a travaillé dans ce domaine dans les années 1600. Gregory a étudié la série de Taylor et a publié plusieurs séries de Maclaurin. En 1715, Brook Taylor a découvert une méthode générale pour appliquer la série à toutes les fonctions. (Toutes les recherches précédentes ont montré comment appliquer la méthode à des fonctions spécifiques seulement). Colin Maclaurin a publié un cas particulier de la série de Taylor dans les années 1700. Cette série, qui est basée autour de zéro, est appelée la série de Maclaurin.

Une série de Taylor peut être utilisée pour décrire toute fonction ƒ(x) qui est une fonction lisse (ou, en termes mathématiques, "infiniment différenciable".) La fonction ƒ peut être réelle ou complexe. La série de Taylor est ensuite utilisée pour décrire ce à quoi ressemble la fonction dans le voisinage d'un certain nombre a.

Cette série de Taylor, écrite comme une série de pouvoir, ressemble à :

f (a ) + f ′ (a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . ... f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Cette formule peut également être écrite en notation sigma as :

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Ici n ! est le factoriel de n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) est la nième dérivée de ƒ au point a. a {\displaystyle a} est un nombre dans le domaine de la fonction. Si la série de Taylor d'une fonction est égale à cette fonction, la fonction est appelée "fonction analytique".

Série Maclaurin

Quand a = 0 {\displaystyle a=0} la fonction est appelée série de Maclaurin. La série de Maclaurin écrite comme une série de puissance ressemble à :

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . . f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Lorsqu'elle est écrite en notation sigma, la série Maclaurin l'est :

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Voici quelques séries importantes de Taylor et de Maclaurin.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ for all x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}{5!}}-\cdots {\text{ for all}x\ ! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ for all x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all}x\ ! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pour tous x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all}}x\ ! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pour tous x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }x\ ! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pour tous x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all}x\ ! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pour tous | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n for all | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n) !}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}{3}}+{\frac {2x^{5}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {pi }{2}}\ !} }

Où B n est le nième nombre de Bernoulli et ln est le logarithme naturel.