En mathématiques, une fonction surjective (ou une surjection) est une fonction f : A → B qui « atteint » tous les éléments du codomaine. Formellement :

f est surjective si et seulement si, pour tout b dans B, il existe au moins un a dans A tel que f(a) = b. Autrement dit, l'image de f est égale au codomaine :

f(A) = B.

Remarque historique et étymologie

Les termes surjection, injection et bijection ont été popularisés par le collectif de mathématiciens connu sous le nom de Nicolas Bourbaki dans les années 1930. Le préfixe français sur (signifiant « sur » ou « au‑dessus ») évoque l'idée que l'image de la fonction « couvre » tout le codomaine.

Caractéristiques et propriétés principales

  • Équivalence logique : f est surjective ⇔ ∀b∈B, ∃a∈A tel que f(a)=b ⇔ f(A)=B.
  • Composition : si f : A→B et g : B→C sont surjectives, alors g∘f : A→C est surjective.
  • Inverse à droite : f est surjective si et seulement si elle admet une application g : B→A telle que f∘g = idB. Une telle g s'appelle un section ou inverse à droite de f.
  • Bijection : f est bijective ⇔ f est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, f admet une unique réciproque f−1 : B→A qui est une application.
  • Taille des ensembles finis : si A et B sont finis, une fonction f : A→B est surjective ⇔ |A| ≥ |B| et |f(A)| = |B|.
  • Applications linéaires : pour une application linéaire T : V→W entre espaces vectoriels de dimension finie, T est surjective ⇔ rang(T) = dim(W).

Exemples

  • f : ℝ → ℝ, f(x) = x3. Cette fonction est surjective car pour tout y∈ℝ, x=∛y vérifie f(x) = y.
  • f : ℝ → ℝ, f(x) = x2. Non surjective si le codomaine est ℝ (les nombres négatifs ne sont pas atteints). En revanche, f : ℝ → [0,∞) est surjective.
  • La projection π1 : ℝ2→ℝ donnée par π1(x,y) = x est surjective (pour tout x il existe y quelconque).
  • La réduction modulo n : ℤ → ℤ/nℤ est surjective (tout reste de classe modulo n est atteint par un entier).
  • Une fonction constante c : A→B définie par c(a) = b0 n'est surjective que si B = {b0}.

Contre‑exemples et pièges courants

  • Confondre image et codomaine : pour montrer qu'une fonction n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément du codomaine qui n'est l'image d'aucun élément du domaine.
  • La surjectivité dépend du codomaine choisi : la même formule peut être surjective pour un codomaine restreint et non surjective pour un codomaine plus grand. Exemple : x2 n'est pas surjective ℝ→ℝ mais l'est ℝ→[0,∞).

Preuve rapide de l'équivalence avec l'existence d'un inverse à droite

Si f admet g : B→A telle que f∘g = idB, alors pour tout b∈B on a f(g(b)) = b, donc f est surjective. Réciproquement, si f est surjective, on peut choisir pour chaque b∈B un ab∈A tel que f(ab) = b et définir g(b) = ab. Ainsi f∘g = idB. (Cette construction utilise le choix d'un antécédent pour chaque b ; pour des familles infinies, elle peut nécessiter l'axiome du choix.)

Applications et utilité

  • Comprendre la structure des fonctions entre ensembles et mesurer « combien » du codomaine est atteint.
  • En algèbre linéaire, reconnaître les transformations qui ont des solutions pour toute donnée du second espace (surjectivité = existence de solutions pour tout second membre).
  • En combinatoire et théorie des ensembles, comparer tailles d'ensembles : l'existence d'une surjection A→B montre que |B| ≤ |A| (au sens cardinal), pour les ensembles finis comme pour les cardinaux infinis.

Conclusion

La surjectivité est une notion fondamentale qui décrit le fait qu'une fonction couvre entièrement son codomaine. Elle se caractérise aisément par l'égalité f(A) = B, admet une interprétation géométrique intuitive et possède des conséquences importantes en algèbre, analyse et théorie des ensembles.