Fonction surjective — définition, propriétés et exemples
Comprenez la fonction surjective : définition claire, propriétés essentielles et exemples illustrés pour maîtriser surjection, injection et bijection.
En mathématiques, une fonction surjective (ou une surjection) est une fonction f : A → B qui « atteint » tous les éléments du codomaine. Formellement :
f est surjective si et seulement si, pour tout b dans B, il existe au moins un a dans A tel que f(a) = b. Autrement dit, l'image de f est égale au codomaine :
f(A) = B.
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Remarque historique et étymologie
Les termes surjection, injection et bijection ont été popularisés par le collectif de mathématiciens connu sous le nom de Nicolas Bourbaki dans les années 1930. Le préfixe français sur (signifiant « sur » ou « au‑dessus ») évoque l'idée que l'image de la fonction « couvre » tout le codomaine.
Caractéristiques et propriétés principales
- Équivalence logique : f est surjective ⇔ ∀b∈B, ∃a∈A tel que f(a)=b ⇔ f(A)=B.
- Composition : si f : A→B et g : B→C sont surjectives, alors g∘f : A→C est surjective.
- Inverse à droite : f est surjective si et seulement si elle admet une application g : B→A telle que f∘g = idB. Une telle g s'appelle un section ou inverse à droite de f.
- Bijection : f est bijective ⇔ f est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, f admet une unique réciproque f−1 : B→A qui est une application.
- Taille des ensembles finis : si A et B sont finis, une fonction f : A→B est surjective ⇔ |A| ≥ |B| et |f(A)| = |B|.
- Applications linéaires : pour une application linéaire T : V→W entre espaces vectoriels de dimension finie, T est surjective ⇔ rang(T) = dim(W).
Exemples
- f : ℝ → ℝ, f(x) = x3. Cette fonction est surjective car pour tout y∈ℝ, x=∛y vérifie f(x) = y.
- f : ℝ → ℝ, f(x) = x2. Non surjective si le codomaine est ℝ (les nombres négatifs ne sont pas atteints). En revanche, f : ℝ → [0,∞) est surjective.
- La projection π1 : ℝ2→ℝ donnée par π1(x,y) = x est surjective (pour tout x il existe y quelconque).
- La réduction modulo n : ℤ → ℤ/nℤ est surjective (tout reste de classe modulo n est atteint par un entier).
- Une fonction constante c : A→B définie par c(a) = b0 n'est surjective que si B = {b0}.
Contre‑exemples et pièges courants
- Confondre image et codomaine : pour montrer qu'une fonction n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément du codomaine qui n'est l'image d'aucun élément du domaine.
- La surjectivité dépend du codomaine choisi : la même formule peut être surjective pour un codomaine restreint et non surjective pour un codomaine plus grand. Exemple : x2 n'est pas surjective ℝ→ℝ mais l'est ℝ→[0,∞).
Preuve rapide de l'équivalence avec l'existence d'un inverse à droite
Si f admet g : B→A telle que f∘g = idB, alors pour tout b∈B on a f(g(b)) = b, donc f est surjective. Réciproquement, si f est surjective, on peut choisir pour chaque b∈B un ab∈A tel que f(ab) = b et définir g(b) = ab. Ainsi f∘g = idB. (Cette construction utilise le choix d'un antécédent pour chaque b ; pour des familles infinies, elle peut nécessiter l'axiome du choix.)
Applications et utilité
- Comprendre la structure des fonctions entre ensembles et mesurer « combien » du codomaine est atteint.
- En algèbre linéaire, reconnaître les transformations qui ont des solutions pour toute donnée du second espace (surjectivité = existence de solutions pour tout second membre).
- En combinatoire et théorie des ensembles, comparer tailles d'ensembles : l'existence d'une surjection A→B montre que |B| ≤ |A| (au sens cardinal), pour les ensembles finis comme pour les cardinaux infinis.
Conclusion
La surjectivité est une notion fondamentale qui décrit le fait qu'une fonction couvre entièrement son codomaine. Elle se caractérise aisément par l'égalité f(A) = B, admet une interprétation géométrique intuitive et possède des conséquences importantes en algèbre, analyse et théorie des ensembles.
Propriétés de base
Officiellement :
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}est
une fonction surjective si ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\existe a\in A}
tel que f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }
L'élément b {\displaystyle b}
est appelé l'image de l'élément a {\displaystyle a}
.
- La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B est l'image d'au moins un élément du domaine A.
L'élément a est appelé une pré-image de l'élément b.
- La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B a au moins une pré-image dans le domaine A.
Une pré-image n'a pas besoin d'être unique. Dans l'image du haut, {X} et {Y} sont toutes deux des pré-images de l'élément {1}. Il est seulement important qu'il y ait au moins une pré-image. (Voir aussi : Fonction injectrice, Fonction bijective)
Exemples
Fonctions élémentaires
Soit f(x):ℝ→ℝ une fonction à valeur réelle y=f(x) d'un argument à valeur réelle x. (Cela signifie que l'entrée et la sortie sont toutes deux des nombres).
- Signification graphique : La fonction f est une surjection si chaque ligne horizontale coupe le graphique de f en au moins un point.
- Sens analytique : La fonction f est une surjection si, pour chaque nombre réel yo, on peut trouver au moins un nombre réel xo tel que yo=f(xo).
Trouver une pré-image xo pour un yo donné équivaut à l'une ou l'autre question :
- L'équation f(x)-yo=0 a-t-elle une solution ? ou
- La fonction f(x)-yo a-t-elle une racine ?
En mathématiques, on ne peut trouver des racines exactes (analytiques) que des polynômes de premier, deuxième (et troisième) degré. Nous trouvons les racines de toutes les autres fonctions approximativement (numériquement). Cela signifie qu'une preuve formelle de la surjectivité est rarement directe. Les discussions ci-dessous sont donc informelles.
Exemple : La fonction linéaire d'une ligne inclinée est sur. C'est-à-dire, y=ax+b où a≠0 est une surjection. (C'est aussi une injection et donc une bijection).
Preuve : Substituez yo dans la fonction et résolvez pour x. Depuis a≠0, nous obtenons x= (yo-b)/a. Cela signifie que xo=(yo-b)/a est une pré-image de yo. Cela prouve que la fonction y=ax+b où a≠0 est une surjection. (Comme il y a exactement une pré-image, cette fonction est également une injection).
Exemple pratique : y= -2x+4. Quelle est la pré-image de y=2 ? Solution : Ici a= -2, c'est-à-dire a≠0 et la question est : Pour quoi x est y=2 ? Nous substituons y=2 dans la fonction. Nous obtenons x=1, c'est-à-dire y(1)=2. La réponse est donc : x=1 est la pré-image de y=2.
Exemple : Le polynôme cubique (du troisième degré) f(x)=x3-3x est une surjection.
Discussion : L'équation cubique x3-3x-yo=0 a des coefficients réels (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Chaque équation cubique de ce type a au moins une racine réelle. Comme le domaine du polynôme est ℝ, cela signifie qu'il y a au moins une pré-image xo dans le domaine. C'est-à-dire, (x0)3-3x0-yo=0. La fonction est donc une surjection. (Cependant, cette fonction n'est pas une injection. Par exemple, yo=2 a 2 pré-images : x=-1 et x=2. En fait, chaque y, -2≤y≤2 a au moins 2 pré-images).
Exemple : La fonction quadratique f(x) = x2 n'est pas une surjection. Il n'y a pas de x tel que x2 = -1. La plage de x² est [0,+∞) , c'est-à-dire l'ensemble des nombres non négatifs. (De plus, cette fonction n'est pas une injection).
Note : On peut transformer une fonction non subjective en une surjection en limitant son codomaine aux éléments de sa gamme. Par exemple, la nouvelle fonction fN(x):ℝ → [0,+∞) où fN(x) = x2 est une fonction surjective. (Ce n'est pas la même chose que la restriction d'une fonction qui restreint le domaine).
Exemple : La fonction exponentielle f(x) = 10x n'est pas une surjection. La plage de 10x est (0,+∞), c'est-à-dire l'ensemble des nombres positifs. (Cette fonction est une injection).
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Surjection. f(x):ℝ→ℝ (et injection) |
Surjection. f(x):ℝ→ℝ (pas une injection) |
Pas une surjection. f(x):ℝ→ℝ (ni une injection) |
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Ce n'est pas une surjection. f(x):ℝ→ℝ (mais c'est une injection) |
Surjection. f(x) :(0,+∞)→ℝ (et injection) |
Surjection. z:ℝ²→ℝ, z=y. (L'image montre que la pré-image de z=2 est la ligne y=2). |
Autres exemples de fonctions à valeur réelle
Exemple : La fonction logarithmique base 10 f(x) :(0,+∞)→ℝ définie par f(x)=log(x) ou y=log10(x) est une surjection (et une injection). (C'est la fonction inverse de 10x.)
- La projection d'un produit cartésien A × B sur l'un de ses facteurs est une surestimation.
Exemple : La fonction f((x,y)):ℝ²→ℝ définie par z=y est une surjection. Son graphe est un plan dans l'espace tridimensionnel. La pré-image de zo est la droite y=zo dans le plan x0y.
- Dans les jeux en 3D, l'espace tridimensionnel est projeté sur un écran bidimensionnel avec une surjection.
Pages connexes
- Fonction (mathématiques)
- Fonction injectrice
- Fonction bijective
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une fonction surjective en mathématiques ?
R : Une fonction surjective en mathématiques est une fonction f : A → B avec la propriété que pour tout élément b dans le codomaine B, il existe au moins un élément a dans le domaine A tel que f(a)=b.
Q : Quelle est la signification d'une fonction surjective en mathématiques ?
R : Une fonction surjective garantit qu'aucun élément du codomaine n'est non représenté et que l'intervalle et le codomaine de f sont le même ensemble.
Q : Quelle est l'origine du terme "surjection" ?
R : Le terme de surjection a été introduit par le groupe de mathématiciens appelé Nicholas Bourbaki.
Q : Quelle est la signification du préfixe français "sur" dans "surjectif" ?
R : Le préfixe français "sur" signifie "au-dessus" ou "sur".
Q : Pourquoi le terme surjectif a-t-il été choisi pour ce type de fonction ?
R : Le terme surjectif a été choisi pour ce type de fonction parce qu'une fonction surjective fait correspondre son domaine à son codomaine.
Q : Qui a publié une série de livres sur les mathématiques modernes avancées dans les années 1930 ?
R : Le groupe de mathématiciens appelé Nicholas Bourbaki a publié une série de livres sur les mathématiques modernes avancées dans les années 1930.
Q : Que sont l'injection et la bijection en mathématiques ?
R : L'injection et la bijection sont des termes apparentés à la surjection en mathématiques. Une fonction d'injection garantit qu'aucun élément du domaine ne correspond au même élément du codomaine. Une fonction de bijection est à la fois surjective et injective.
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Auteur
AlegsaOnline.com Fonction surjective — définition, propriétés et exemples Leandro Alegsa
URL: https://fr.alegsaonline.com/art/95185
Sources
- mathworld.wolfram.com : "Surjective function"
- web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping"
- jeff560.tripod.com : "Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics"