Surjection

Propriétés de base

Officiellement :

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}est une fonction surjective si ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\existe a\in A} tel que f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

L'élément b {\displaystyle b} est appelé l'image de l'élément a {\displaystyle a} .

• La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B est l'image d'au moins un élément du domaine A.

L'élément a est appelé une pré-image de l'élément b.

• La définition formelle signifie : Chaque élément du codomaine B a au moins une pré-image dans le domaine A.

Une pré-image n'a pas besoin d'être unique. Dans l'image du haut, {X} et {Y} sont toutes deux des pré-images de l'élément {1}. Il est seulement important qu'il y ait au moins une pré-image. (Voir aussi : Fonction injectrice, Fonction bijective)

Exemples

Fonctions élémentaires

Soit f(x):ℝ→ℝ une fonction à valeur réelle y=f(x) d'un argument à valeur réelle x. (Cela signifie que l'entrée et la sortie sont toutes deux des nombres).

• Signification graphique : La fonction f est une surjection si chaque ligne horizontale coupe le graphique de f en au moins un point.
• Sens analytique : La fonction f est une surjection si, pour chaque nombre réel yo, on peut trouver au moins un nombre réel xo tel que yo=f(xo).

Exemple : La fonction linéaire d'une ligne inclinée est sur. C'est-à-dire, y=ax+b où a≠0 est une surjection. (C'est aussi une injection et donc une bijection).

Preuve : Substituez yo dans la fonction et résolvez pour x. Depuis a≠0, nous obtenons x= (yo-b)/a. Cela signifie que xo=(yo-b)/a est une pré-image de yo. Cela prouve que la fonction y=ax+b où a≠0 est une surjection. (Comme il y a exactement une pré-image, cette fonction est également une injection).

Exemple pratique : y= -2x+4. Quelle est la pré-image de y=2 ? Solution : Ici a= -2, c'est-à-dire a≠0 et la question est : Pour quoi x est y=2 ? Nous substituons y=2 dans la fonction. Nous obtenons x=1, c'est-à-dire y(1)=2. La réponse est donc : x=1 est la pré-image de y=2.

Exemple : Le polynôme cubique (du troisième degré) f(x)=x3-3x est une surjection.

Discussion : L'équation cubique x3-3x-yo=0 a des coefficients réels (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Chaque équation cubique de ce type a au moins une racine réelle. Comme le domaine du polynôme est ℝ, cela signifie qu'il y a au moins une pré-image xo dans le domaine. C'est-à-dire, (x0)^3-3x0-yo=0. La fonction est donc une surjection. (Cependant, cette fonction n'est pas une injection. Par exemple, yo=2 a 2 pré-images : x=-1 et x=2. En fait, chaque y, -2≤y≤2 a au moins 2 pré-images).

Exemple : La fonction quadratique f(x) = x2 n'est pas une surjection. Il n'y a pas de x tel que x2 = -1. La plage de x² est [0,+∞) , c'est-à-dire l'ensemble des nombres non négatifs. (De plus, cette fonction n'est pas une injection).

Note : On peut transformer une fonction non subjective en une surjection en limitant son codomaine aux éléments de sa gamme. Par exemple, la nouvelle fonction fN(x):ℝ → [0,+∞) où fN(x) = x2 est une fonction surjective. (Ce n'est pas la même chose que la restriction d'une fonction qui restreint le domaine).

Exemple : La fonction exponentielle f(x) = 10x n'est pas une surjection. La plage de 10x est (0,+∞), c'est-à-dire l'ensemble des nombres positifs. (Cette fonction est une injection).

Autres exemples de fonctions à valeur réelle

Exemple : La fonction logarithmique base 10 f(x) :(0,+∞)→ℝ définie par f(x)=log(x) ou y=log10(x) est une surjection (et une injection). (C'est la fonction inverse de 10x.)

• La projection d'un produit cartésien A × B sur l'un de ses facteurs est une surestimation.

Exemple : La fonction f((x,y)):ℝ²→ℝ définie par z=y est une surjection. Son graphe est un plan dans l'espace tridimensionnel. La pré-image de zo est la droite y=zo dans le plan x0y.

• Dans les jeux en 3D, l'espace tridimensionnel est projeté sur un écran bidimensionnel avec une surjection.

Pages connexes

• Fonction (mathématiques)
• Fonction injectrice
• Fonction bijective