Racine carrée de deux

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

La racine carrée de 2, ou la (1/2)ème puissance de 2, écrite en mathématiques comme √2 ou _21⁄2, est le nombre irrationnel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, est égal au nombre 2. Pour être plus exact, on l'appelle la racine carrée principale de 2, pour la distinguer de la version négative de lui-même lorsque cela est également vrai.

Géométriquement, la racine carrée de 2 est la longueur d'une diagonale d'un carré dont les côtés ont une longueur de un ; on peut trouver cela avec le théorème de Pythagore.

La racine carrée de 2 est égale à la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les branches sont de longueur 1

La preuve que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle

Le nombre 2 n' ${\sqrt {2}}$ est pas rationnel. En voici la preuve.

Supposons que le style d'affichage 2 ${\sqrt {2}}$ est rationnel. Il y a donc des nombres a , b $a,b$ tels que a / b = 2 a/b={\sqrt {2}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Nous pouvons choisir a et b de sorte que soit a, soit b soit impair. Si a et b sont tous deux pairs, alors la fraction peut être simplifiée (par exemple, au lieu d'écrire 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ On pourrait écrire 1 2 (style d'affichage ${\frac {1}{2}}$ ) à la place.
Si les deux côtés de l'équation sont au carré, on obtient a2 / b2 = 2 et a2 = 2 b2.
Le côté droit est 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Ce numéro est pair. Le côté gauche doit donc être pair aussi. Donc un $a^{2}$ a^{2} style d'affichage 2 est pair. Si un nombre impair est au carré, alors le résultat sera un nombre impair. Et si un nombre pair est au carré, un nombre pair sera également le résultat. Donc, un affichage de type a est pair.
Comme a est pair, il peut s'écrire : a = 2 k $a=2k$ .
L'équation de l'étape 3 est utilisée. On obtient 2b2 = (2k)²
Une règle d'exponentiation peut être utilisée (voir l'article) - le résultat est 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Les deux côtés sont divisés par 2, donc b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Cela signifie que le style d'affichage $b$ b est égal.
À l'étape 2, nous avons dit que a est impair ou b est impair. Mais à l'étape 4, on a dit que a est pair, et à l'étape 7, on a dit que b est pair. Si l'hypothèse que nous avons faite à l'étape 1 est vraie, alors toutes ces autres choses doivent être vraies, mais comme elles ne sont pas d'accord entre elles, elles ne peuvent pas toutes être vraies ; cela signifie que notre hypothèse n'est pas vraie.

Il n'est pas vrai que 2 ${\sqrt {2}}$ soit un nombre rationnel. Donc 2 ${\sqrt {2}}$ est irrationnel.