Carré parfait

Les carrés (séquence A000290 dans l'OEIS) plus petits que 702 sont :

Il y a une infinité de nombres carrés, comme il y a une infinité de nombres naturels.

Le nombre m est un nombre carré si et seulement si l'on peut composer un carré de m égal à des carrés (inférieurs) :

Un carré de longueur de côté n a une surface n2.

L'expression pour le nième nombre carré est n2. Il est également égal à la somme des n premiers nombres impairs comme on peut le voir sur les images ci-dessus, où un carré résulte du précédent en ajoutant un nombre impair de points (en magenta). La formule est la suivante :

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). }

Ainsi, par exemple, ⁵² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Un nombre carré ne peut se terminer que par les chiffres 0, 1, 4, 6, 9, ou 25 en base 10, comme suit :

1. Si le dernier chiffre d'un nombre est 0, son carré se termine par un nombre pair de 0 (donc au moins 00) et les chiffres précédant les 0 de fin doivent également former un carré.
2. Si le dernier chiffre d'un nombre est 1 ou 9, son carré se termine par 1 et le nombre formé par ses chiffres précédents doit être divisible par quatre.
3. Si le dernier chiffre d'un nombre est 2 ou 8, son carré se termine par 4 et le chiffre précédent doit être pair.
4. Si le dernier chiffre d'un nombre est 3 ou 7, son carré se termine par 9 et le nombre formé par ses chiffres précédents doit être divisible par quatre.
5. Si le dernier chiffre d'un nombre est 4 ou 6, son carré se termine par 6 et le chiffre précédent doit être impair.
6. Si le dernier chiffre d'un nombre est 5, son carré se termine par 25 et les chiffres précédents doivent être 0, 2, 06 ou 56.

Un nombre carré ne peut pas être un nombre parfait.

Toutes les quatrièmes puissances, sixièmes puissances, huitièmes puissances, etc. sont des carrés parfaits.

• Si le nombre est de la forme m5 où m représente les chiffres précédents, son carré est n25 où n = m × (m + 1) et représente les chiffres avant 25. Par exemple, le carré de 65 peut être calculé par n = 6 × (6 + 1) = 42, ce qui rend le carré égal à 4225.
• Si le nombre est de la forme m0 où m représente les chiffres précédents, son carré est n00 où n = m2. Par exemple, le carré de 70 est 4900.
• Si le nombre a deux chiffres et est de la forme 5m où m représente le chiffre de l'unité, son carré est AABB où AA = 25 + m et BB = ^m2. Exemple : Pour calculer le carré de 57, 25 + 7 = 32 et ⁷² = 49, ce qui signifie 572 = 3249.

Les carrés de nombres pairs sont pairs (et en fait divisibles par 4), puisque (2n)² = 4n2.

Les carrés de nombres impairs sont impairs, puisque (2n + 1)² = 4(n2 + n) + 1.

Il s'ensuit que les racines carrées des nombres carrés pairs sont paires, et que les racines carrées des nombres carrés impairs sont impaires.

Comme tous les nombres carrés pairs sont divisibles par 4, les nombres pairs de la forme 4n + 2 ne sont pas des nombres carrés.

Comme tous les nombres carrés impairs sont de la forme 4n + 1, les nombres impairs de la forme 4n + 3 ne sont pas des nombres carrés.

Les carrés de nombres impairs sont de la forme 8n + 1, puisque (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 et que n(n + 1) est un nombre pair.