Carré parfait
Un nombre carré, parfois aussi appelé carré parfait, est le résultat d'un entier multiplié par lui-même. 1, 4, 9, 16 et 25 sont les cinq premiers nombres carrés. Dans une formule, le carré d'un nombre n est désigné par n2 (exponentiation), généralement prononcé "n au carré". Le nom de nombre carré vient du nom de la forme ; voir ci-dessous.
Les nombres carrés ne sont pas négatifs. Une autre façon de dire qu'un nombre (non négatif) est un nombre carré, est que sa racine carrée est à nouveau un nombre entier. Par exemple, √9 = 3, donc 9 est un nombre carré.
Exemples
Les carrés (séquence A000290 dans l'OEIS) plus petits que 702 sont :
02 =0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Il y a une infinité de nombres carrés, comme il y a une infinité de nombres naturels.
Propriétés
Le nombre m est un nombre carré si et seulement si l'on peut composer un carré de m égal à des carrés (inférieurs) :
| m = 12 = 1 |
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| m = 22 = 4 |
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| m = 32 = 9 |
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| m = 42 = 16 |
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| m = 52 = 25 |
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| Remarque : les espaces blancs entre les carrés servent uniquement à améliorer la perception visuelle. | |
Un carré de longueur de côté n a une surface n2.
L'expression pour le nième nombre carré est n2. Il est également égal à la somme des n premiers nombres impairs comme on peut le voir sur les images ci-dessus, où un carré résulte du précédent en ajoutant un nombre impair de points (en magenta). La formule est la suivante :
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). }
Ainsi, par exemple, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Un nombre carré ne peut se terminer que par les chiffres 0, 1, 4, 6, 9, ou 25 en base 10, comme suit :
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 0, son carré se termine par un nombre pair de 0 (donc au moins 00) et les chiffres précédant les 0 de fin doivent également former un carré.
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 1 ou 9, son carré se termine par 1 et le nombre formé par ses chiffres précédents doit être divisible par quatre.
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 2 ou 8, son carré se termine par 4 et le chiffre précédent doit être pair.
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 3 ou 7, son carré se termine par 9 et le nombre formé par ses chiffres précédents doit être divisible par quatre.
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 4 ou 6, son carré se termine par 6 et le chiffre précédent doit être impair.
- Si le dernier chiffre d'un nombre est 5, son carré se termine par 25 et les chiffres précédents doivent être 0, 2, 06 ou 56.
Un nombre carré ne peut pas être un nombre parfait.
Toutes les quatrièmes puissances, sixièmes puissances, huitièmes puissances, etc. sont des carrés parfaits.
Cas particuliers
- Si le nombre est de la forme m5 où m représente les chiffres précédents, son carré est n25 où n = m × (m + 1) et représente les chiffres avant 25. Par exemple, le carré de 65 peut être calculé par n = 6 × (6 + 1) = 42, ce qui rend le carré égal à 4225.
- Si le nombre est de la forme m0 où m représente les chiffres précédents, son carré est n00 où n = m2. Par exemple, le carré de 70 est 4900.
- Si le nombre a deux chiffres et est de la forme 5m où m représente le chiffre de l'unité, son carré est AABB où AA = 25 + m et BB = m2. Exemple : Pour calculer le carré de 57, 25 + 7 = 32 et 72 = 49, ce qui signifie 572 = 3249.
Chiffres pairs et impairs
Les carrés de nombres pairs sont pairs (et en fait divisibles par 4), puisque (2n)2 = 4n2.
Les carrés de nombres impairs sont impairs, puisque (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Il s'ensuit que les racines carrées des nombres carrés pairs sont paires, et que les racines carrées des nombres carrés impairs sont impaires.
Comme tous les nombres carrés pairs sont divisibles par 4, les nombres pairs de la forme 4n + 2 ne sont pas des nombres carrés.
Comme tous les nombres carrés impairs sont de la forme 4n + 1, les nombres impairs de la forme 4n + 3 ne sont pas des nombres carrés.
Les carrés de nombres impairs sont de la forme 8n + 1, puisque (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 et que n(n + 1) est un nombre pair.
