Les bases mathématiques de la relativité spéciale sont les transformations de Lorentz, qui décrivent mathématiquement les vues de l'espace et du temps pour deux observateurs qui se déplacent l'un par rapport à l'autre mais ne subissent pas d'accélération.
Pour définir les transformations, nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes pour décrire mathématiquement le temps et l'espace des "événements".
Chaque observateur peut décrire un événement comme la position de quelque chose dans l'espace à un moment donné, en utilisant des coordonnées (x,y,z,t).
Le lieu de l'événement est défini dans les trois premières coordonnées (x,y,z) par rapport à un centre arbitraire (0,0,0) de sorte que (3,3,3) est une diagonale allant de 3 unités de distance (comme des mètres ou des miles) dans chaque direction.
L'heure de l'événement est décrite avec la quatrième coordonnée t par rapport à un point arbitraire (0) dans une unité de temps (comme les secondes, les heures ou les années).
Soit un observateur K qui décrit quand les événements se produisent avec une coordonnée temporelle t, et qui décrit où les événements se produisent avec les coordonnées spatiales x, y et z. Ceci définit mathématiquement le premier observateur dont le "point de vue" sera notre première référence.
Précisons que l'heure d'un événement est donnée : par le temps qu'il est observé t(observé) (disons aujourd'hui, à 12 heures) moins le temps qu'il a fallu pour que l'observation atteigne l'observateur.
Elle peut être calculée comme la distance entre l'observateur et l'événement d(observé) (disons que l'événement se produit sur une étoile située à une année-lumière de distance, donc que la lumière met un an pour atteindre l'observateur) divisée par c, la vitesse de la lumière (plusieurs millions de miles par heure), que nous définissons comme étant la même pour tous les observateurs.
C'est exact car la distance, divisée par la vitesse, donne le temps nécessaire pour parcourir cette distance à cette vitesse (par exemple, 30 miles divisés par 10 mph : donnez-nous 3 heures, car si vous allez à 10 mph pendant 3 heures, vous atteignez 30 miles). C'est ce que nous avons fait :
t = d / c {\displaystyle t=d/c}
Il s'agit de définir mathématiquement ce que tout "temps" signifie pour tout observateur.
Maintenant que ces définitions sont en place, qu'il y ait un autre observateur K' qui soit
- se déplaçant le long de l'axe des x de K à un taux de v,
- a un système de coordonnées spatiales de x' , y' et z' ,
où l'axe x' coïncide avec l'axe x, et avec les axes y' et z' - "étant toujours parallèles" aux axes y et z.
Cela signifie que lorsque K' donne un emplacement comme (3,1,2), le x (qui est 3 dans cet exemple) est le même endroit que K, le premier observateur parlerait, mais le 1 sur l'axe des y ou le 2 sur l'axe des z ne sont parallèles qu'à un certain endroit du système de coordonnées de l'observateur K', et
- où K et K' coïncident à t = t' = 0
Cela signifie que la coordonnée (0,0,0,0) est le même événement pour les deux observateurs.
En d'autres termes, les deux observateurs ont (au moins) une heure et un lieu sur lesquels ils sont tous deux d'accord, à savoir le lieu et le temps zéro.
Les transformations de Lorentz sont donc
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
y ′ = y {\displaystyle y'=y}
et
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Définir un événement pour avoir des coordonnées spatio-temporelles (t,x,y,z) dans le système S et (t′,x′,y′,z′) dans un cadre de référence se déplaçant à une vitesse v par rapport à ce cadre, S′. Ensuite, la transformation de Lorentz précise que ces coordonnées sont liées de la manière suivante : c'est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière dans le vide, et la vitesse v de S′ est parallèle à l'axe des x. Par souci de simplicité, les coordonnées y et z ne sont pas affectées ; seules les coordonnées x et t sont transformées. Ces transformations de Lorentz forment un groupe de cartographies linéaires à un paramètre, ce paramètre étant appelé rapidité.
En résolvant les quatre équations de transformation ci-dessus pour les coordonnées non amorcées, on obtient la transformation de Lorentz inverse :
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}
En faisant coïncider cette transformation de Lorentz inverse avec la transformation de Lorentz du système amorcé au système non amorcé, on montre que le cadre non amorcé se déplace à la vitesse v′ = -v, telle que mesurée dans le cadre amorcé.
L'axe des abscisses n'a rien de particulier. La transformation peut s'appliquer à l'axe des y ou des z, ou même à n'importe quelle direction, ce qui peut se faire par des directions parallèles au mouvement (qui sont déformées par le facteur γ) et perpendiculaires ; voir l'article sur la transformation de Lorentz pour plus de détails.
Une quantité invariante sous les transformations de Lorentz est connue sous le nom de scalaire de Lorentz.
En écrivant la transformation de Lorentz et son inverse en termes de différences de coordonnées, où un événement a des coordonnées (x1, t1) et (x′1, t′1), un autre événement a des coordonnées (x2, t2) et (x′2, t′2), et les différences sont définies comme
Eq. 1 : Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }
Eq. 2 : Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }
nous obtenons
Eq. 3 : Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }
Eq. 4 : Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }
Si nous prenons les différences au lieu de prendre les différences, nous obtenons
Eq. 5 : d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . . }
Eq. 6 : d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . . }
