Relativité restreinte

Les bases de la relativité spéciale

Supposons que vous vous dirigez vers quelque chose qui se dirige vers vous. Si vous mesurez sa vitesse, il semblera se déplacer plus rapidement que si vous ne bougiez pas. Supposons maintenant que vous vous éloignez de quelque chose qui se dirige vers vous. Si vous mesurez à nouveau sa vitesse, il semblera se déplacer plus lentement. C'est l'idée de la "vitesse relative" - la vitesse de l'objet par rapport à vous.

Avant Albert Einstein, les scientifiques essayaient de mesurer la "vitesse relative" de la lumière. Ils le faisaient en mesurant la vitesse de la lumière des étoiles atteignant la Terre. Ils s'attendaient à ce que si la Terre se rapprochait d'une étoile, la lumière de cette étoile semblait plus rapide que si la Terre s'éloignait de cette étoile. Cependant, ils ont remarqué que peu importe qui effectuait les expériences, où elles étaient réalisées ou quelle lumière stellaire était utilisée, la vitesse mesurée de la lumière dans le vide était toujours la même.

Einstein a dit que cela se produit parce qu'il y a quelque chose d'inattendu dans la longueur et la durée, ou dans la durée de quelque chose. Il pensait qu'au fur et à mesure que la Terre se déplace dans l'espace, toutes les durées mesurables changent très légèrement. Toute horloge utilisée pour mesurer une durée se trompe exactement de la bonne quantité, de sorte que la vitesse de la lumière reste la même. Imaginer une "horloge lumineuse" nous permet de mieux comprendre ce fait remarquable pour le cas d'une seule onde lumineuse.

De plus, Einstein a déclaré que lorsque la Terre se déplace dans l'espace, toutes les longueurs mesurables changent (même si c'est très légèrement). Tout dispositif mesurant la longueur donnera une longueur exactement égale à la bonne valeur, de sorte que la vitesse de la lumière restera la même.

La chose la plus difficile à comprendre est que des événements qui semblent être simultanés dans une image peuvent ne pas l'être dans une autre. Cela a de nombreux effets qui ne sont pas faciles à percevoir ou à comprendre. Comme la longueur d'un objet est la distance de la tête à la queue à un moment donné, il s'ensuit que si deux observateurs ne s'accordent pas sur les événements simultanés, cela affectera (parfois de manière spectaculaire) leurs mesures de la longueur des objets. De plus, si une ligne d'horloges semble synchronisée avec un observateur stationnaire et semble être désynchronisée par rapport à ce même observateur après avoir accéléré jusqu'à une certaine vitesse, il s'ensuit que pendant l'accélération, les horloges ont fonctionné à des vitesses différentes. Certaines peuvent même fonctionner à l'envers. Ce raisonnement conduit à une relativité générale.

Avant Einstein, d'autres scientifiques avaient écrit que la lumière semblait aller à la même vitesse, quelle que soit la manière dont elle était observée. Ce qui a rendu la théorie d'Einstein si révolutionnaire, c'est qu'elle considère que la mesure de la vitesse de la lumière est constante par définition, en d'autres termes qu'elle est une loi de la nature. Cela a pour conséquence remarquable que les mesures liées à la vitesse, la longueur et la durée changent pour s'adapter à cela.

Les transformations de Lorentz

Les bases mathématiques de la relativité spéciale sont les transformations de Lorentz, qui décrivent mathématiquement les vues de l'espace et du temps pour deux observateurs qui se déplacent l'un par rapport à l'autre mais ne subissent pas d'accélération.

Pour définir les transformations, nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes pour décrire mathématiquement le temps et l'espace des "événements".

Chaque observateur peut décrire un événement comme la position de quelque chose dans l'espace à un moment donné, en utilisant des coordonnées (x,y,z,t).

Le lieu de l'événement est défini dans les trois premières coordonnées (x,y,z) par rapport à un centre arbitraire (0,0,0) de sorte que (3,3,3) est une diagonale allant de 3 unités de distance (comme des mètres ou des miles) dans chaque direction.

L'heure de l'événement est décrite avec la quatrième coordonnée t par rapport à un point arbitraire (0) dans une unité de temps (comme les secondes, les heures ou les années).

Soit un observateur K qui décrit quand les événements se produisent avec une coordonnée temporelle t, et qui décrit où les événements se produisent avec les coordonnées spatiales x, y et z. Ceci définit mathématiquement le premier observateur dont le "point de vue" sera notre première référence.

Précisons que l'heure d'un événement est donnée : par le temps qu'il est observé t_(observé) (disons aujourd'hui, à 12 heures) moins le temps qu'il a fallu pour que l'observation atteigne l'observateur.

Elle peut être calculée comme la distance entre l'observateur et l'événement d_(observé) (disons que l'événement se produit sur une étoile située à une année-lumière de distance, donc que la lumière met un an pour atteindre l'observateur) divisée par c, la vitesse de la lumière (plusieurs millions de miles par heure), que nous définissons comme étant la même pour tous les observateurs.

C'est exact car la distance, divisée par la vitesse, donne le temps nécessaire pour parcourir cette distance à cette vitesse (par exemple, 30 miles divisés par 10 mph : donnez-nous 3 heures, car si vous allez à 10 mph pendant 3 heures, vous atteignez 30 miles). C'est ce que nous avons fait :

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Il s'agit de définir mathématiquement ce que tout "temps" signifie pour tout observateur.

Maintenant que ces définitions sont en place, qu'il y ait un autre observateur K' qui soit

• se déplaçant le long de l'axe des x de K à un taux de v,
• a un système de coordonnées spatiales de x' , y' et z' ,

où l'axe x' coïncide avec l'axe x, et avec les axes y' et z' - "étant toujours parallèles" aux axes y et z.

Cela signifie que lorsque K' donne un emplacement comme (3,1,2), le x (qui est 3 dans cet exemple) est le même endroit que K, le premier observateur parlerait, mais le 1 sur l'axe des y ou le 2 sur l'axe des z ne sont parallèles qu'à un certain endroit du système de coordonnées de l'observateur K', et

• où K et K' coïncident à t = t' = 0

Cela signifie que la coordonnée (0,0,0,0) est le même événement pour les deux observateurs.

En d'autres termes, les deux observateurs ont (au moins) une heure et un lieu sur lesquels ils sont tous deux d'accord, à savoir le lieu et le temps zéro.

Les transformations de Lorentz sont donc

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} et

z ′ = z {\displaystyle z'=z} .

Définir un événement pour avoir des coordonnées spatio-temporelles (t,x,y,z) dans le système S et (t′,x′,y′,z′) dans un cadre de référence se déplaçant à une vitesse v par rapport à ce cadre, S′. Ensuite, la transformation de Lorentz précise que ces coordonnées sont liées de la manière suivante : c'est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière dans le vide, et la vitesse v de S′ est parallèle à l'axe des x. Par souci de simplicité, les coordonnées y et z ne sont pas affectées ; seules les coordonnées x et t sont transformées. Ces transformations de Lorentz forment un groupe de cartographies linéaires à un paramètre, ce paramètre étant appelé rapidité.

En résolvant les quatre équations de transformation ci-dessus pour les coordonnées non amorcées, on obtient la transformation de Lorentz inverse :

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

En faisant coïncider cette transformation de Lorentz inverse avec la transformation de Lorentz du système amorcé au système non amorcé, on montre que le cadre non amorcé se déplace à la vitesse v′ = -v, telle que mesurée dans le cadre amorcé.

L'axe des abscisses n'a rien de particulier. La transformation peut s'appliquer à l'axe des y ou des z, ou même à n'importe quelle direction, ce qui peut se faire par des directions parallèles au mouvement (qui sont déformées par le facteur γ) et perpendiculaires ; voir l'article sur la transformation de Lorentz pour plus de détails.

Une quantité invariante sous les transformations de Lorentz est connue sous le nom de scalaire de Lorentz.

En écrivant la transformation de Lorentz et son inverse en termes de différences de coordonnées, où un événement a des coordonnées (x1, t1) et (x′1, t′1), un autre événement a des coordonnées (x2, t2) et ₍x′2, t′2), et les différences sont définies comme

Eq. 1 : Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Eq. 2 : Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

nous obtenons

Eq. 3 : Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Eq. 4 : Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Si nous prenons les différences au lieu de prendre les différences, nous obtenons

Eq. 5 : d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . . }

Eq. 6 : d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . . }

Masse, énergie et élan

Dans la relativité spéciale, l'impulsion p et l'énergie totale E d'un objet en fonction de sa masse m sont

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

et

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} .

Une erreur fréquemment commise (également dans certains livres) consiste à réécrire cette équation en utilisant une "masse relativiste" (dans le sens du mouvement) de m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}} {c^{2}}}}}}}} . La raison pour laquelle cela est incorrect est que la lumière, par exemple, n'a pas de masse, mais a de l'énergie. Si nous utilisons cette formule, le photon (particule de lumière) a une masse, ce qui est, selon les expériences, incorrect.

Dans la relativité spéciale, la masse, l'énergie totale et la quantité de mouvement d'un objet sont liées par l'équation

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Pour un objet au repos, p = 0 {\displaystyle p=0} donc l'équation ci-dessus se simplifie à E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . Ainsi, un objet massif au repos a toujours de l'énergie. Nous appelons cette énergie de repos et nous la désignons par E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Histoire

La nécessité d'une relativité spéciale est née des équations de Maxwell sur l'électromagnétisme, publiées en 1865. On a découvert par la suite qu'elles exigent que les ondes électromagnétiques (comme la lumière) se déplacent à une vitesse constante (c'est-à-dire la vitesse de la lumière).

Pour que les équations de James Clerk Maxwell soient cohérentes avec les observations astronomiques^[1] et la physique newtonienne^[2], Maxwell a proposé en 1877 que la lumière traverse un éther qui se trouve partout dans l'univers.

En 1887, la célèbre expérience de Michelson-Morley a tenté de détecter le "vent d'éther" généré par le mouvement de la Terre. Les résultats nuls et persistants de cette expérience ont laissé les physiciens perplexes et ont remis en question la théorie de l'éther^.

En 1895, Lorentz et Fitzgerald ont noté que le résultat nul de l'expérience Michelson-Morley pouvait s'expliquer par le fait que le vent de l'éther contractait l'expérience dans la direction du mouvement de l'éther. Cet effet est appelé la contraction de Lorentz, et (sans l'éther) est une conséquence de la relativité spéciale.

En 1899, Lorentz a publié pour la première fois les équations de Lorentz. Bien que ce ne fût pas la première fois qu'elles étaient publiées, c'était la première fois qu'elles étaient utilisées comme explication du résultat nul de Michelson-Morley, puisque la contraction de Lorentz en est le résultat.

En 1900, Poincaré prononce un discours célèbre dans lequel il envisage la possibilité qu'une "nouvelle physique" soit nécessaire pour expliquer l'expérience de Michelson-Morley.

En 1904, Lorentz a montré que les champs électriques et magnétiques peuvent être modifiés l'un dans l'autre par les transformations de Lorentz.

En 1905, Einstein a publié dans Annalen der Physik son article présentant la relativité spéciale, "On the Electrodynamics of Moving Bodies". Dans cet article, il présente les postulats de la relativité, en déduit les transformations de Lorentz et (ignorant l'article de Lorentz de 1904) montre également comment les transformations de Lorentz affectent les champs électriques et magnétiques.

Plus tard, en 1905, Einstein a publié un autre article présentant E = mc2.

En 1908, Max Planck a approuvé la théorie d'Einstein et l'a appelée "relativité". Cette même année, Hermann Minkowski a prononcé un célèbre discours sur l'espace et le temps dans lequel il a montré que la relativité est cohérente et a développé la théorie. Ces événements ont forcé la communauté des physiciens à prendre la relativité au sérieux. Par la suite, la relativité a été de plus en plus acceptée.

En 1912, Einstein et Lorentz ont été nommés pour le prix Nobel de physique en raison de leurs travaux de pionniers sur la relativité. Malheureusement, la relativité était alors si controversée et le resta si longtemps qu'un prix Nobel ne fut jamais décerné pour elle.

Confirmations expérimentales

• L'expérience de Michelson-Morley, qui n'a pas réussi à détecter de différence dans la vitesse de la lumière en fonction de la direction du mouvement de la lumière.
• L'expérience de Fizeau, dans laquelle l'indice de réfraction de la lumière dans l'eau en mouvement ne peut être inférieur à 1. Les résultats observés s'expliquent par la règle relativiste d'addition des vitesses.
• L'énergie et l'élan de la lumière obéissent à l'équation E = p c {\displaystyle E=pc} . (Dans la physique newtonienne, on s'attend à ce que ce soit E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc} .)
• L'effet Doppler transversal, qui consiste à décaler vers le rouge la lumière émise par un objet se déplaçant rapidement en raison de la dilatation temporelle.
• La présence de muons créés dans la haute atmosphère à la surface de la Terre. Le problème est qu'il faut beaucoup plus de temps que la demi-vie des muons pour descendre à la surface de la Terre, même à une vitesse proche de celle de la lumière. Leur présence peut être considérée comme étant due soit à une dilatation temporelle (selon nous), soit à une contraction de la distance à la surface de la Terre (selon le muon).
• Les accélérateurs de particules ne peuvent être construits sans tenir compte de la physique relativiste.

Pages connexes

• Relativité générale