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Coefficient de corrélation de Spearman (ρ) — Définition, formule et exemples

Coefficient de corrélation de Spearman (ρ) — définition claire, formule expliquée et exemples pas-à-pas pour mesurer la relation entre variables ordinales. Guide pratique et intuitif.

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En mathématiques et en statistiques, le coefficient de corrélation de Spearman est une mesure de corrélation, du nom de son créateur, Charles Spearman. Il s'écrit en abrégé comme la lettre grecque rho ( ρ {\displaystyle \rho }{\displaystyle \rho } ) ou parfois comme r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} . C'est un chiffre qui montre à quel point deux ensembles de données sont étroitement liés. Il ne peut être utilisé que pour les données qui peuvent être mises en ordre, par exemple du plus haut au plus bas.

La formule générale de r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} est ρ = 1 - 6 ∑ d 2 n ( n 2 - 1 ) {\displaystyle \rho =1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}}}{\displaystyle \rho =1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}}} .

Par exemple, si vous disposez de données sur le coût des différents ordinateurs et sur leur vitesse, vous pouvez voir s'ils sont liés et dans quelle mesure ils le sont, en utilisant r s {\displaystyle r_{s}}.{\displaystyle r_{s}} .

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Positive correltion lobf
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Interprétation et propriétés principales

  • Intervalle : ρ (ou rs) varie entre -1 et +1.
  • Signification :
    • ρ = +1 : relation monotone parfaitement croissante (les rangs correspondent exactement).
    • ρ = -1 : relation monotone parfaitement décroissante (les rangs sont inversés exactement).
    • ρ ≈ 0 : pas de relation monotone apparente entre les deux variables.
  • Type de relation détectée : Spearman mesure une relation monotone (pas nécessairement linéaire). Il est donc utile quand la relation est monotone mais non linéaire.
  • Robustesse : moins sensible aux valeurs extrêmes et aux distributions non normales que la corrélation de Pearson, car on travaille sur les rangs.

Calcul pas à pas

Étapes pour calculer rs à partir de deux séries X et Y (même taille n) :

  1. Trier chaque série et attribuer un rang à chaque valeur (par exemple 1 pour la plus élevée si vous classez du plus haut au plus bas, ou l'inverse). En cas d'égalités (ties), on attribue le rang moyen des positions occupées.
  2. Pour chaque paire i, calculer la différence des rangs : di = rang(Xi) - rang(Yi).
  3. Élever au carré chaque différence et sommer : ∑di2.
  4. Remplacer dans la formule ρ = 1 - 6∑d^{2} / (n(n^{2}-1)){\displaystyle \rho =1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}}} pour obtenir le coefficient.

Exemple numérique

On a 6 ordinateurs avec leur coût et leur vitesse (plus élevé = meilleur). On classe du plus haut au plus bas :

  • Coûts (du plus élevé au plus bas) : D(900), F(800), B(700), E(600), A(500), C(400) → rangs coûts : D=1, F=2, B=3, E=4, A=5, C=6.
  • Vitesse (du plus élevé au plus bas) : C(3.5), A(3.1), E(3.0), F(2.9), B(2.8), D(2.6) → rangs vitesses : C=1, A=2, E=3, F=4, B=5, D=6.

Calcul des différences et des carrés :

  • A : d = 5 - 2 = 3 → d² = 9
  • B : d = 3 - 5 = -2 → d² = 4
  • C : d = 6 - 1 = 5 → d² = 25
  • D : d = 1 - 6 = -5 → d² = 25
  • E : d = 4 - 3 = 1 → d² = 1
  • F : d = 2 - 4 = -2 → d² = 4

Somme : ∑d² = 9 + 4 + 25 + 25 + 1 + 4 = 68. Avec n = 6 :

ρ = 1 - (6 × 68) / [6 (6² - 1)] = 1 - 408 / 210 ≈ -0,9429.

Interprétation : il existe une forte corrélation monotone négative entre le coût et la vitesse dans cet exemple (les ordinateurs les plus chers ont tendance ici à être les plus lents).

Cas des égalités (ties)

Quand il y a des égalités dans les données, on attribue aux valeurs ex aequo le rang moyen ; la formule précédente donne alors une approximation. Pour un calcul exact en présence de nombreux ties, on peut :

  • utiliser la corrélation de Pearson appliquée aux rangs (méthode générale, équivalente à Spearman même en présence de ties),
  • ou appliquer une correction de la formule en tenant compte des multiplicités des ties (formules plus techniques rarement faites à la main).

Test d'hypothèse

Pour tester H0 : "pas de corrélation (ρ = 0)" on peut :

  • pour des échantillons petits, utiliser la table des valeurs exactes de Spearman ou des tests de permutation;
  • pour des échantillons plus grands, utiliser l'approximation : t ≈ ρ √((n-2)/(1-ρ²)) qui suit approximativement une loi t de Student à n-2 degrés de liberté.

Comparaison avec la corrélation de Pearson

  • Pearson mesure l'association linéaire entre deux variables quantitatives et suppose souvent une relation linéaire et des distributions proches de la normalité.
  • Spearman mesure l'association monotone entre les rangs ; il détecte des relations monotones non linéaires et est plus robuste aux valeurs aberrantes et aux distributions non normales.

Remarques pratiques

  • Logiciels : en R on utilise cor(x, y, method = "spearman") ou cor.test(..., method = "spearman"), en Python scipy.stats.spearmanr.
  • Interpréter toujours le signe et la magnitude de ρ dans le contexte des données. Une valeur élevée en valeur absolue indique une forte relation monotone mais ne renseigne pas sur la pente exacte d'une relation linéaire.

En résumé, le coefficient de corrélation de Spearman est un outil simple et robuste pour mesurer l'association monotone entre deux séries ordonnées ; il se calcule à partir des rangs et donne une mesure comprise entre -1 et +1.

La mise au point

Première étape

Pour calculer r s {\displaystyle r_{s}},{\displaystyle r_{s}} vous devez d'abord classer chaque donnée. Nous allons utiliser l'exemple de l'introduction des ordinateurs et de leur vitesse.

Ainsi, l'ordinateur ayant le prix le plus bas serait classé 1. Celui qui est supérieur à ce rang aurait le rang 2. Ensuite, il monte jusqu'à ce qu'il soit tout classé. Vous devez faire cela pour les deux ensembles de données.

PC

Prix ($)

R a n k 1 {\displaystyle Rank_{1}}{\displaystyle Rank_{1}}

Vitesse (GHz)

R a n k 2 {\displaystyle Rank_{2}}{\displaystyle Rank_{2}}

A

200

1

1.80

2

B

275

2

1.60

1

C

300

3

2.20

4

D

350

4

2.10

3

E

600

5

4.00

5

Deuxième étape

Ensuite, nous devons trouver la différence entre les deux grades. Ensuite, il faut multiplier la différence par elle-même, ce qu'on appelle le quadrillage. La différence s'appelle d,{\displaystyle d} et le nombre que vous obtenez lorsque vous mettez d au carré s'appelle d{\displaystyle d} 2.{\displaystyle d^{2}} .

R a n k 1 {\displaystyle Rank_{1}}{\displaystyle Rank_{1}}

R a n k 2 {\displaystyle Rank_{2}}{\displaystyle Rank_{2}}

d {\displaystyle d}{\displaystyle d}

d 2 {\displaystyle d^{2}}{\displaystyle d^{2}}

1

2

-1

1

2

1

1

1

3

4

-1

1

4

3

1

1

5

5

0

0

Troisième étape

Comptez la quantité de données dont nous disposons. Ces données sont classées de 1 à 5, donc nous avons 5 données. Ce nombre s'appelle n {\displaystyle n}n .

Quatrième étape

Enfin, utilisez tout ce que nous avons élaboré jusqu'à présent dans cette formule : r s = 1 - 6 ∑ d 2 n ( n 2 - 1 ) {\displaystyle r_{s}=1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}}}{\displaystyle r_{s}=1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}}} .

∑ d 2 {\displaystyle \sum d^{2}}{\displaystyle \sum d^{2}} signifie que nous prenons le total de tous les nombres qui étaient dans la colonne d 2 {\displaystyle d^{2}}{\displaystyle d^{2}} . C'est parce que ∑ {\displaystyle \sum }{\displaystyle \sum } signifie total.

Donc, ∑ d 2 {\displaystyle \sum d^{2}}{\displaystyle \sum d^{2}} est 1 + 1 + 1 + 1 + 1 {\displaystyle 1+1+1+1+1}{\displaystyle 1+1+1+1} ce qui fait 4. La formule dit de le multiplier par 6, ce qui fait 24.

n ( n 2 - 1 )/style d'affichage n(n^{2}-1)}{\displaystyle n(n^{2}-1)} est 5 × ( 25 - 1 )/style d'affichage 5\fois (25-1)}{\displaystyle 5\times (25-1)} ce qui est 120.

Donc, pour trouver r s{\displaystyle r_{s}} {\displaystyle r_{s}} Si l'on veut que les données soient complètes, il suffit de faire 1 - 24 120 = 0,8{\displaystyle 1-{\cfrac {24}{120}}=0.8} .

Par conséquent, le coefficient de corrélation de Spearman est de 0,8 pour cet ensemble de données.

Ce que signifient les chiffres

r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} donne toujours une réponse entre -1 et 1. Les nombres entre sont comme une échelle, où -1 est un lien très fort, 0 n'est pas un lien, et 1 est aussi un lien très fort. La différence entre 1 et -1 est que 1 est une corrélation positive, et -1 une corrélation négative. Un graphique de données avec une valeur r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} de -1 ressemblerait au graphique présenté, sauf que la ligne et les points iraient du haut à gauche au bas à droite.

Par exemple, pour les données que nous avons faites ci-dessus, r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} était de 0,8. Cela signifie donc qu'il y a une corrélation positive. Comme elle est proche de 1, cela signifie que le lien est fort entre les deux ensembles de données. On peut donc dire que ces deux ensembles de données sont liés et qu'ils montent ensemble. Si elle était de -0,8, nous pourrions dire qu'elle est liée et que lorsque l'une monte, l'autre descend.

Ce diagramme de dispersion a une corrélation positive. La valeur de r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} serait proche de 1 ou 0,9. La ligne rouge est une ligne de meilleur ajustement.

Si deux numéros sont identiques

Parfois, lors du classement des données, il y a deux ou plusieurs chiffres qui sont identiques. Lorsque cela se produit dans r s {\displaystyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} Dans le cas d'un classement, on prend la moyenne des classements qui sont identiques. On parle alors de rangs égaux. Pour ce faire, nous classons les numéros ex aequo comme s'ils n'étaient pas ex aequo. Ensuite, nous additionnons tous les rangs qu'ils auraient et divisons le résultat par le nombre de rangs. Par exemple, disons que nous classons des personnes différentes en fonction de leurs résultats à un test d'orthographe.

Score du test

Rang

Rang (avec égalité)

4

1

1

6

2

2 + 3 + 4 3 = 3 {\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}{\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}

6

3

2 + 3 + 4 3 = 3 {\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}{\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}

6

4

2 + 3 + 4 3 = 3 {\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}{\displaystyle {\tfrac {2+3+4}{3}}=3}

8

5

5 + 6 2 = 5.5 {\displaystyle {\tfrac {5+6}{2}}=5.5}{\displaystyle {\tfrac {5+6}{2}}=5.5}

8

6

5 + 6 2 = 5.5 {\displaystyle {\tfrac {5+6}{2}}=5.5}{\displaystyle {\tfrac {5+6}{2}}=5.5}

Ces numéros sont utilisés exactement de la même manière que les grades normaux.

Pages connexes

  • Corrélation

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que le coefficient de corrélation de rang de Spearman ?

R : Le coefficient de corrélation de rang de Spearman est une mesure de corrélation qui montre à quel point deux ensembles de données sont liés. Il ne peut être utilisé que pour des données qui peuvent être classées par ordre, par exemple du plus élevé au plus bas.

Q : Qui a créé le coefficient de corrélation de rang de Spearman ?

R : Charles Spearman a créé le coefficient de corrélation de rang de Spearman.

Q : Comment s'écrit la formule générale du coefficient de corrélation de rang de Spearman ?

R : La formule générale du coefficient de corrélation de rang de Spearman s'écrit ρ = 1 - 6∑d2/n(n2-1).

Q : Quand devez-vous utiliser le coefficient de corrélation de rang de Spearman ?

R : Vous devez utiliser le coefficient de corrélation de rang de Spearman lorsque vous voulez voir à quel point deux ensembles de données sont liés et s'ils sont liés du tout.

Q : Avec quel type de données fonctionne-t-il ?

R : Il fonctionne avec tout type de données pouvant être classées par ordre, par exemple du plus élevé au plus bas.

Q : Pouvez-vous donner un exemple d'utilisation de cette mesure ?

R : Par exemple, si vous disposez de données sur le coût de différents ordinateurs et sur leur rapidité, vous pouvez voir s'ils sont liés et à quel point ils le sont à l'aide de r_s.

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AlegsaOnline.com Coefficient de corrélation de Spearman (ρ) — Définition, formule et exemples

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