Métrique de Schwarzschild
La métrique de Schwarzschild a été calculée par Karl Schwarzschild comme solution aux équations de champ d'Einstein en 1916. Également connue sous le nom de solution de Schwarzschild, il s'agit d'une équation de la relativité générale dans le domaine de l'astrophysique. Une métrique fait référence à une équation qui décrit l'espace-temps ; en particulier, une métrique de Schwarzschild décrit le champ gravitationnel autour d'un trou noir de Schwarzschild - un trou noir sphérique non rotatif, sans champ magnétique, et où la constante cosmologique est nulle.
Il s'agit essentiellement d'une équation qui décrit comment une particule se déplace dans l'espace à proximité d'un trou noir.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
Dérivation
Bien qu'une méthode plus complexe de calcul de la métrique de Schwarzschild puisse être trouvée en utilisant les symboles de Christoffel, elle peut également être dérivée en utilisant les équations de la vitesse d'échappement ( v e {\displaystyle v_{e}}
), de la dilatation temporelle (dt'), de la contraction de la longueur (dr') :
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v est la vitesse de la particule
G est la constante gravitationnelle
M est la masse du trou noir
r est la proximité de la particule par rapport à l'objet lourd
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt" est le changement réel de la particule dans le temps
dt est le changement de la particule dans le temps
dr" est la distance réelle parcourue
dr est le changement de distance de la particule
v est la vitesse de la particule
c est la vitesse de la lumière
Remarque : l'intervalle de temps réel et la distance réelle parcourue par la particule sont différents du temps et de la distance calculés dans les calculs de physique classique, puisqu'elle se déplace dans un champ gravitationnel si lourd !
Utilisation de l'équation de l'espace-temps plat en coordonnées sphériques :
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(4)
ds est le chemin de la particule
θ {\displaystyle \theta }
est l'angle
d θ {\displaystyle \theta } et d ϕ {\displaystyle \phi }
sont le changement d'angle
Entrer les équations de la vitesse d'échappement, de la dilatation temporelle et de la contraction de la longueur (équations 1, 2 et 3) dans l'équation de l'espace-temps plat (équation 4), pour obtenir la métrique de Schwarzschild :
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(5)
De cette équation, on peut déduire le rayon de Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}
), le rayon de ce trou noir. Bien que cette équation soit le plus souvent utilisée pour décrire un trou noir de Schwarzschild, le rayon de Schwarzschild peut être calculé pour tout objet lourd.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} est la limite de rayon fixée pour l'objet
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que la métrique de Schwarzschild ?
R : La métrique de Schwarzschild est une équation de la relativité générale dans le domaine de l'astrophysique qui décrit la façon dont une particule se déplace dans l'espace à proximité d'un trou noir. Elle a été calculée par Karl Schwarzschild en tant que solution aux équations du champ d'Einstein en 1916.
Q : À quoi correspond une métrique ?
R : Une métrique est une équation qui décrit l'espace-temps ; en particulier, une métrique de Schwarzschild décrit le champ gravitationnel autour d'un trou noir de Schwarzschild.
Q : Quelles sont les caractéristiques du trou noir de Schwarzschild ?
R : Le trou noir de Schwarzschild ne tourne pas, est sphérique et ne possède pas de champ magnétique. En outre, sa constante cosmologique est nulle.
Q : Comment peut-on décrire le champ gravitationnel autour d'un trou noir de Schwarzschild ?
R : Nous pouvons le décrire à l'aide de l'équation métrique de Schwartzchild, qui décrit comment les particules se déplacent dans l'espace à proximité de ce type de trou noir.
Q : Qui a calculé cette équation pour la première fois ?
R : Karl Schwartzchild a calculé pour la première fois cette équation en tant que solution aux équations du champ d'Einstein en 1916.
Q : Que représente (ds)^2 dans cette équation ?
R : (ds)^2 représente la distance entre deux points de l'espace-temps mesurée par rapport aux coordonnées de temps et d'espace.
