Bien qu'une méthode plus complexe de calcul de la métrique de Schwarzschild puisse être trouvée en utilisant les symboles de Christoffel, elle peut également être dérivée en utilisant les équations de la vitesse d'échappement ( v e {\displaystyle v_{e}}
), de la dilatation temporelle (dt'), de la contraction de la longueur (dr') :
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v est la vitesse de la particule
G est la constante gravitationnelle
M est la masse du trou noir
r est la proximité de la particule par rapport à l'objet lourd
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt" est le changement réel de la particule dans le temps
dt est le changement de la particule dans le temps
dr" est la distance réelle parcourue
dr est le changement de distance de la particule
v est la vitesse de la particule
c est la vitesse de la lumière
Remarque : l'intervalle de temps réel et la distance réelle parcourue par la particule sont différents du temps et de la distance calculés dans les calculs de physique classique, puisqu'elle se déplace dans un champ gravitationnel si lourd !
Utilisation de l'équation de l'espace-temps plat en coordonnées sphériques :
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(4)
ds est le chemin de la particule
θ {\displaystyle \theta }
est l'angle
d θ {\displaystyle \theta } et d ϕ {\displaystyle \phi }
sont le changement d'angle
Entrer les équations de la vitesse d'échappement, de la dilatation temporelle et de la contraction de la longueur (équations 1, 2 et 3) dans l'équation de l'espace-temps plat (équation 4), pour obtenir la métrique de Schwarzschild :
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(5)
De cette équation, on peut déduire le rayon de Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}
), le rayon de ce trou noir. Bien que cette équation soit le plus souvent utilisée pour décrire un trou noir de Schwarzschild, le rayon de Schwarzschild peut être calculé pour tout objet lourd.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} est la limite de rayon fixée pour l'objet
