Équation de Schrödinger

Auteur: Leandro Alegsa Date de création: 9 mai 2021

L'équation de Schrödinger est une équation différentielle (un type d'équation qui implique une fonction inconnue plutôt qu'un nombre inconnu) qui constitue la base de la mécanique quantique, une des théories les plus précises sur le comportement des particules subatomiques. Il s'agit d'une équation mathématique qui a été imaginée par Erwin Schrödinger en 1925. Elle définit une fonction d'onde d'une particule ou d'un système (groupe de particules) qui a une certaine valeur en tout point de l'espace et à tout moment donné. Ces valeurs n'ont aucune signification physique (en fait, elles sont mathématiquement complexes), mais la fonction d'onde contient toutes les informations que l'on peut connaître sur une particule ou un système. Ces informations peuvent être trouvées en manipulant mathématiquement la fonction d'onde pour renvoyer des valeurs réelles relatives à des propriétés physiques telles que la position, la quantité de mouvement, l'énergie, etc. La fonction d'onde peut être considérée comme une image de la façon dont cette particule ou ce système agit avec le temps et la décrit aussi complètement que possible.

La fonction d'onde peut se trouver dans plusieurs états différents à la fois, et une particule peut donc avoir plusieurs positions, énergies, vitesses ou autres propriétés physiques différentes en même temps (c'est-à-dire "être à deux endroits à la fois"). Cependant, lorsqu'une de ces propriétés est mesurée, elle n'a qu'une seule valeur spécifique (qui ne peut être prédite avec certitude), et la fonction d'onde se trouve donc dans un seul état spécifique. C'est ce qu'on appelle l'effondrement de la fonction d'onde, qui semble être causé par l'acte d'observation ou de mesure. La cause exacte et l'interprétation de l'effondrement de la fonction de vague sont encore largement débattues dans la communauté scientifique.

Pour une particule qui ne se déplace que dans une seule direction dans l'espace, l'équation de Schrödinger ressemble :

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac barre ^{2}}{2m}}{\frac partiel ^{2}}{\partiel x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\bar barre {\frac partiel }{\partiel t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

où i $i$ est la racine carrée de -1, $\hbar$ ℏ est la constante de Planck réduite, $t$ t est le temps, x est une position, Ψ ( x , t ) $\Psi (x,\,t)$ est la fonction d'onde, et V ( x $V(x)$ ) est l'énergie potentielle, une fonction de position non encore choisie. Le côté gauche équivaut à l'opérateur énergétique Hamiltonien agissant sur Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Buste d'Erwin Schrödinger, à l'université de Vienne. Il montre également une équation de Schrödinger.

Version indépendante du temps

En supposant que la fonction d'onde, Ψ ( x , t ) $\Psi (x,t)$ est séparable, c'est-à-dire que l'on suppose que la fonction de deux variables peut être écrite comme le produit de deux fonctions différentes d'une seule variable :

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

alors, en utilisant les techniques mathématiques standard des équations différentielles partielles, on peut montrer que l'équation d'onde peut être réécrite en deux équations différentielles distinctes

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {bar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

où la première équation dépend uniquement du temps T ( t )/style d'affichage T(t)} $T(t)$ et la deuxième équation ne dépend que de la position ψ ( x )/displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ et où E n' $E$ est qu'un nombre. La première équation peut être résolue immédiatement pour donner

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

où e {\displaystyle e} $e$ est le numéro d'Euler. Les solutions de la deuxième équation dépendent de la fonction d'énergie potentielle, V ( x ) $V(x)$ et ne peut donc pas être résolu tant que cette fonction n'est pas attribuée. La mécanique quantique permet de montrer que le nombre E (style d'affichage E) $E$ est en fait l'énergie du système, de sorte que ces fonctions d'ondes séparables décrivent des systèmes d'énergie constante. Comme l'énergie est constante dans de nombreux systèmes physiques importants (par exemple : un électron dans un atome), la deuxième équation de l'ensemble des équations différentielles séparées présentées ci-dessus est souvent utilisée. Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schrödinger indépendante du temps, car elle n'implique pas t {\displaystyle t} $t$ .

Interprétations de la fonction Vague

Interprétation née

Il existe de nombreuses interprétations philosophiques de la fonction d'onde, et quelques unes des principales idées seront examinées ici. L'idée principale, appelée interprétation de la probabilité de Born (du nom du physicien Max Born), vient de l'idée simple que la fonction d'onde est intégrable au carré ; c'est-à-dire

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Cette formule assez simple a de grandes implications physiques. Born a émis l'hypothèse que l'intégrale ci-dessus détermine que la particule existe quelque part dans l'espace. Mais comment pouvons-nous la trouver ? Nous utilisons l'intégrale

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

où P ( b < x < a ) est la $P(b<x<a)$ probabilité de trouver la particule dans la région allant de b à a. En d'autres termes, tout ce que l'on peut savoir à l'avance sur une particule en général sont les probabilités, les moyennes et autres grandeurs statistiques associées à ses quantités physiques (position, moment, etc.). Il s'agit essentiellement de l'interprétation Born.

Interprétation de Copenhague

Il est possible de prolonger les idées ci-dessus. Puisque l'interprétation Born dit que la particule de position réelle ne peut pas être connue, nous pouvons en déduire ce qui suit. Si Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ sont des solutions à l'équation d'onde, alors la superposition de ces solutions, c'est-à-dire

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

est également une solution. Cela implique donc que la particule existe dans toutes les positions possibles. Lorsqu'un observateur vient mesurer la position de la particule, la superposition est réduite à une seule fonction d'onde possible. (i.e., Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} → $\Psi _{s}$ Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ où Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ est l'un des états possibles de la fonction d'onde). Cette idée que la position d'une particule ne peut pas être exactement connue, et qu'une particule existe dans plusieurs positions simultanément, donne naissance au principe d'incertitude. La formulation mathématique de ce principe peut être donnée par

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {bar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Où Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ est l'incertitude sur la position, et Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ est l'incertitude sur l'élan. Ce principe peut être mathématiquement dérivé des transformations de Fourier entre l'impulsion et la position telles que définies par la mécanique quantique, mais nous ne le dériverons pas dans cet article.

Autres interprétations

Il existe diverses autres interprétations, telles que l'interprétation des mondes multiples et le déterminisme quantique.

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger ?

R : L'équation de Schrödinger est une équation différentielle qui constitue la base de la mécanique quantique et qui a été imaginée par Erwin Schrödinger en 1925. Elle définit la fonction d'onde d'une particule ou d'un système qui a une certaine valeur en tout point de l'espace pour un temps donné.

Q : Quelles informations peut-on obtenir en manipulant la fonction d'onde ?

R : En manipulant mathématiquement la fonction d'onde, on peut trouver des valeurs réelles relatives à des propriétés physiques telles que la position, la quantité de mouvement, l'énergie, etc.

Q : Que signifie le fait qu'une particule puisse avoir plusieurs positions, énergies, vitesses ou autres propriétés physiques différentes en même temps ?

R : Cela signifie que la fonction d'onde peut se trouver dans un certain nombre d'états différents à la fois et qu'une particule peut donc avoir plusieurs positions, énergies, vitesses ou autres propriétés physiques différentes en même temps (c'est-à-dire "être à deux endroits à la fois").

Q : Qu'est-ce que l'effondrement de la fonction d'onde ?

R : L'effondrement de la fonction d'onde se produit lorsque l'une de ces propriétés est mesurée et qu'elle n'a qu'une seule valeur spécifique (qui ne peut être prédite avec certitude), et que la fonction d'onde se trouve donc dans un seul état spécifique. Ce phénomène semble être causé par l'acte d'observation ou de mesure.

Q : Quelles sont les composantes de l'équation de Schrödinger ?

R : Les composantes de l'équation de Schrödinger comprennent i, qui est égal à la racine carrée de -1 ; ℏ, qui représente la constante de Planck réduite ; t, qui représente le temps ; x, qui représente la position ; Ψ (x , t), qui représente les fonctions d'onde ; et V(x), qui représente l'énergie potentielle en tant que fonction non encore choisie de la position.

Q : Comment interpréter l'effondrement de la fonction d'onde ?

R : La cause exacte et l'interprétation de l'effondrement de la fonction d'onde sont encore largement débattues dans la communauté scientifique.