Hypothèse de Riemann

Qu'est-ce que la fonction Riemann zeta ?

La fonction Riemann zeta est une sorte de fonction. Les fonctions sont des choses en mathématiques comme les équations. Les fonctions prennent des nombres et vous en rendent d'autres. C'est comme la façon dont vous obtenez une réponse lorsque vous posez une question. Le nombre que vous entrez est appelé une "entrée". Le nombre que vous obtenez en retour est appelé une "valeur". Chaque entrée que vous faites dans la fonction zeta de Riemann vous donne une valeur spéciale en retour. La plupart du temps, vous obtenez une valeur différente pour chaque entrée. Mais chaque entrée vous donne la même valeur chaque fois que vous l'utilisez. L'entrée que vous donnez et la valeur que vous obtenez de la fonction zeta de Riemann sont toutes deux des nombres spéciaux appelés nombres complexes. Un nombre complexe est un nombre à deux parties.

Qu'est-ce qu'une racine non triviale ?

Parfois, lorsque vous introduisez une entrée dans la fonction zeta de Riemann, vous récupérez le chiffre zéro. Dans ce cas, vous appelez cette entrée une racine de la fonction zeta de Riemann. Vous appelez l'entrée une "racine" lorsqu'elle vous donne un zéro. Beaucoup de racines ont été trouvées. Mais certaines racines sont plus faciles à trouver que d'autres. Nous appelons les racines "triviales" ou "non triviales". Nous appelons une racine "triviale" si elle est facile à trouver. Mais nous appelons une racine "non-triviale" si elle est difficile à trouver. Les racines triviales sont des nombres appelés "entiers pairs négatifs". La raison pour laquelle nous pensons qu'elles sont faciles est qu'elles sont faciles à trouver. Il existe des règles précises qui précisent ce que sont les racines triviales. Nous savons ce que sont les racines triviales grâce à l'équation que Bernhard Riemann a donnée. Cette équation a été appelée "l'équation fonctionnelle de Riemann".

Comment trouver des racines non triviales ?

Les racines non triviales sont plus difficiles à trouver. Elles sont plus difficiles à trouver que les racines triviales. Elles n'ont pas les mêmes règles d'ordre qui disent ce qu'elles sont. Même si elles sont difficiles à trouver, beaucoup de racines non triviales ont été trouvées. Rappelez-vous que la valeur de la fonction zêta de Riemann était une sorte de nombre appelé nombre complexe. Et rappelez-vous que les nombres complexes ont deux parties. L'une de ces parties est appelée "partie réelle". Nous avons remarqué une chose intéressante à propos de la partie réelle des racines non triviales. Toutes les racines non triviales que nous avons trouvées ont une partie réelle qui est le même nombre. Ce nombre est 1/2, qui est une fraction. Cela nous amène à la grande question de Riemann, qui est de savoir quelle est la taille des parties réelles. Cette question est l'hypothèse de Riemann. La question est de savoir si toutes les racines non triviales ont la partie réelle 1/2. Nous essayons toujours de savoir si la réponse est "oui" ou "non".

Nous ne connaissons pas encore la réponse à cette question. Mais nous connaissons quelques bons faits. Ces faits pourraient nous aider. Il existe un moyen de trouver des faits sur les parties réelles des racines non triviales. Il s'agit de l'équation spéciale de Riemann (équation fonctionnelle de Riemann). L'équation fonctionnelle de Riemann nous renseigne sur la taille des parties réelles. Elle indique que tous les zéros non triviaux ont une partie réelle proche de 1/2. Elle indique la taille des parties réelles, et leur taille. Mais elle ne dit pas exactement ce qu'elles sont. Plus précisément, il indique que les parties réelles doivent être supérieures à 0, mais inférieures à 1. Mais nous ne savons toujours pas s'il pourrait y avoir une racine non triviale avec une partie réelle très proche de 1/2. Peut-être que oui, mais nous ne l'avons pas encore trouvée. Le groupe de nombres complexes qui ont une partie réelle supérieure à 0 mais inférieure à 1 est appelé "bande critique".

L'image en haut à droite de cette page montre la fonction zeta de Riemann. Les racines non triviales sont représentées par des points blancs. Elles semblent être toutes alignées en plein milieu de l'image. Elles ne sont pas trop à gauche et pas trop à droite. La véritable partie est la distance entre la gauche et la droite. Être au milieu de l'image signifie qu'ils ont une partie réelle de 1/2. Ainsi, toutes les racines non triviales de l'image ont une partie réelle de 1/2. Mais notre image ne montre pas tout parce que la fonction zeta de Riemann est trop grande pour être montrée. Qu'en est-il des racines non triviales au-dessus et au-dessous de l'image ? Se trouveraient-elles aussi au milieu ? Et si elles rompaient le schéma du milieu ? Elles pourraient être légèrement à gauche ou à droite. L'hypothèse de Riemann demande si chaque racine non triviale (point blanc) se trouverait sur la ligne du milieu. Si la réponse est non, nous disons que l'hypothèse est fausse. Cela signifierait qu'il y a des points blancs qui ne sont pas sur la ligne donnée.