Théorème de Pythagore

Une preuve du théorème de Pythagore a été trouvée par un mathématicien grec, Eudoxus de Cnide.

La preuve utilise trois lemmes :

1. Les triangles de même base et de même hauteur ont la même surface.
2. Un triangle qui a la même base et la même hauteur qu'un côté d'un carré a la même surface qu'une moitié de ce carré.
3. Les triangles à deux côtés congruents et à un angle congruent sont congruents et ont la même surface.

La preuve en est :

1. Le triangle bleu a la même surface que le triangle vert, car il a la même base et la même hauteur (lemme 1).
2. Les triangles verts et rouges ont tous deux deux des côtés égaux aux côtés des mêmes carrés, et un angle égal à un angle droit (un angle de 90 degrés) plus un angle de triangle, donc ils sont congruents et ont la même surface (lemme 3).
3. Les surfaces des triangles rouges et jaunes sont égales car elles ont les mêmes hauteurs et bases (lemme 1).
4. L'aire du triangle bleu est égale à l'aire du triangle jaune, car

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Les triangles bruns ont la même surface pour les mêmes raisons.
2. Le bleu et le marron ont chacun une moitié de la surface d'un carré plus petit. La somme de leurs surfaces est égale à la moitié de la surface du plus grand carré. De ce fait, les moitiés des surfaces des petits carrés sont égales à la moitié de la surface du grand carré, donc leur surface est la même que celle du grand carré.

Preuve à l'aide de triangles similaires

Nous pouvons obtenir une autre preuve du théorème de Pythagore en utilisant des triangles similaires.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

D'après l'image, nous savons que c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\ ! } . Et en remplaçant les équations (1) et (2) :

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}

En multipliant par c :

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\ ! }

Les triples ou triplets de Pythagore sont trois nombres entiers qui répondent à l'équation a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Le triangle avec les côtés 3, 4 et 5 est un exemple bien connu. Si a=3 et b=4, alors 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} car 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . On peut également l'afficher comme 3 2 + 4 2 = 5. Le style d'affichage {3^{2}+4^{2}}=5.}

Le triangle trois-quatre-cinq fonctionne pour tous les multiples de 3, 4 et 5. En d'autres termes, des nombres tels que 6, 8, 10 ou 30, 40 et 50 sont également des triples de Pythagore. Un autre exemple de triple est le triangle 12-5-13, parce que 12 2 + 5 2 = 13 .

Un triple de Pythagore qui n'est pas un multiple d'autres triples est appelé un triple de Pythagore primitif. Tout triple de Pythagore primitif peut être trouvé à l'aide de l'expression ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} mais les conditions suivantes doivent être remplies. Elles imposent des restrictions sur les valeurs de m {\displaystyle m} et n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} et n {\displaystyle n} sont des nombres entiers positifs
2. m {\displaystyle m} et n {\displaystyle n} n'ont pas de facteurs communs sauf 1
3. m {displaystyle m} et n {displaystyle n} ont une parité opposée. m {displaystyle m} et n {displaystyle n} ont une parité opposée lorsque m {displaystyle m} est pair et n {displaystyle n} est impair, ou m {displaystyle m} est impair et n {displaystyle n} est pair.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Si les quatre conditions sont remplies, alors les valeurs de m et n créent un triple pythagoricien primitif.

m = 2 {\displaystyle m=2} et n = 1 {\displaystyle n=1} créent un triple pythagoricien primitif. Les valeurs satisfont aux quatre conditions. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\fois 2\fois 1=4} m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} et m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} Le système de gestion de la sécurité, qui est un système de gestion de l'information, permet de créer un triple affichage (3, 4, 5).