Théorème des nombres premiers
Le théorème des nombres premiers est un théorème issu de la théorie des nombres. Les nombres premiers ne sont pas répartis de manière égale sur la gamme des nombres. Le théorème formalise l'idée que la probabilité d'atteindre un nombre premier entre 1 et un nombre donné diminue au fur et à mesure que les nombres augmentent. Cette probabilité est d'environ n/ln(n), où ln(n) est la fonction logarithmique naturelle. Cela signifie que la probabilité d'atteindre un nombre premier à 2n chiffres est environ deux fois moins élevée qu'à n chiffres. Par exemple, parmi les nombres entiers positifs d'au plus 1000 chiffres, environ un sur 2300 est premier (ln 101000 ≈ 2302.6), alors que parmi les nombres entiers positifs d'au plus 2000 chiffres, environ un sur 4600 est premier (ln 102000 ≈ 4605.2). En d'autres termes, l'écart moyen entre des nombres premiers consécutifs parmi les N premiers entiers est d'environ ln(N).
Carl Friedrich Gauss, 15 ans, soupçonnait en 1793 l'existence d'un lien entre les nombres premiers et les logarithmes. Adrien-Marie Legendre a également soupçonné un tel lien en 1798. Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin ont prouvé le théorème des nombres premiers en 1896, plus d'un siècle après Gauss.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que le théorème des nombres premiers ?
R : Le théorème des nombres premiers est un théorème de la théorie des nombres qui explique comment les nombres premiers sont répartis dans la gamme des nombres.
Q : Les nombres premiers sont-ils uniformément répartis dans la gamme des nombres ?
R : Non, les nombres premiers ne sont pas répartis uniformément sur l'ensemble des nombres.
Q : Que formalise le théorème des nombres premiers ?
R : Le théorème des nombres premiers formalise l'idée selon laquelle la probabilité d'obtenir un nombre premier compris entre 1 et un nombre donné devient de plus en plus faible à mesure que les nombres augmentent.
Q : Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier compris entre 1 et un nombre donné ?
R : La probabilité d'atteindre un nombre premier compris entre 1 et un nombre donné est d'environ n/ln(n), où ln(n) est la fonction du logarithme naturel.
Q : La probabilité de trouver un nombre premier à 2n chiffres est-elle plus grande que la probabilité de trouver un nombre premier à n chiffres ?
R : Non, la probabilité d'obtenir un nombre premier avec 2n chiffres est environ deux fois moins élevée qu'avec n chiffres.
Q : Qui a prouvé le théorème des nombres premiers ?
R : Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin ont prouvé le théorème des nombres premiers en 1896, plus d'un siècle après que Gauss ait soupçonné un lien entre les nombres premiers et les logarithmes en 1793.
Q : Quel est l'écart moyen entre les nombres premiers consécutifs parmi les N premiers entiers ?
R : L'écart moyen entre les nombres premiers consécutifs parmi les N premiers entiers est approximativement ln(N).
