Moment d'inertie polaire

Remarque : différentes disciplines utilisent le terme de moment d'inertie pour désigner différents moments. En physique, le moment d'inertie est strictement le deuxième moment de masse par rapport à la distance d'un axe, qui caractérise l'accélération angulaire d'un objet due à un couple appliqué. En ingénierie (en particulier mécanique et civile), le moment d'inertie se réfère généralement au deuxième moment de la zone. Lorsque vous lisez le moment d'inertie polaire, veillez à vérifier qu'il s'agit bien du "deuxième moment polaire de la surface" et non du moment d'inertie. Le moment d'inertie de la seconde polaire aura des unités de longueur jusqu'à la quatrième puissance (par exemple, m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ou i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), tandis que le moment d'inertie est la masse multipliée par la longueur au carré (par exemple, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ ou l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}} $lb*in^{2}$ ).

Le second moment polaire de la surface (également appelé "moment polaire d'inertie") est une mesure de la capacité d'un objet à résister à la torsion en fonction de sa forme. C'est un aspect du second moment d'aire lié par le théorème de l'axe perpendiculaire où le second moment d'aire plan utilise la forme de la section transversale d'un faisceau pour décrire sa résistance à la déformation (flexion) lorsqu'il est soumis à une force appliquée dans un plan parallèle à son axe neutre. Le second moment d'aire polaire utilise la forme de la section transversale d'un faisceau pour décrire sa résistance à la déformation (torsion) lorsqu'un moment (couple) est appliqué dans un plan perpendiculaire à l'axe neutre du faisceau. Alors que le second moment de surface planaire est le plus souvent désigné par la lettre I, le second moment de surface polaire est le plus souvent désigné par l'une des deux lettres I z. $I_{z}$ ou la lettre J $J$ dans les manuels d'ingénierie.

Les valeurs calculées pour le second moment polaire de la surface sont le plus souvent utilisées pour décrire la résistance à la torsion d'un arbre cylindrique plein ou creux, comme dans le cas d'un essieu ou d'un arbre de transmission d'un véhicule. Lorsqu'ils sont appliqués à des faisceaux ou des arbres non cylindriques, les calculs du moment polaire de surface deviennent erronés en raison du gauchissement de l'arbre ou du faisceau. Dans ces cas, il convient d'utiliser une constante de torsion, où une constante de correction est ajoutée au calcul de la valeur.

Le second moment polaire de la surface porte les unités de longueur à la quatrième puissance (L 4) $L^{4}$ , les mètres à la quatrième puissance (m 4) $m^{4}$ dans le système d'unités métriques et les pouces à la quatrième puissance (i n 4 $in^{4}$ ) dans le système d'unités impériales. La formule mathématique pour le calcul direct est donnée sous la forme d'une intégrale multiple sur l'aire d'une forme, R $R$ à une distance ρ {\displaystyle \rho $\rho$ } d'un axe arbitraire O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limites _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Dans sa forme la plus simple, le moment polaire de la surface est la somme des deux moments planaires de la surface, I x (style d'affichage I_{x}) $I_{x}$ et I y (style d'affichage I_{y}). $I_{y}$ . En utilisant le théorème de Pythagore, la distance par rapport à l'axe O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ peut être décomposé en ses $y$ composantes x $x$ et y, et le changement de zone, d A dA $dA$ , décomposé en ses $y$ composantes x $x$ et y, d x et $dx$ d y $dy$ .

Étant donné les deux formules pour les seconds moments de surface plane :

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limites _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ et I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limites _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

La relation avec le second moment polaire de la zone peut être montrée comme suit :

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limites _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limites _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limites _{R}x^{2}dxdy+\iint \limites _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Essentiellement, à mesure que l'amplitude du moment polaire de la surface augmente (c'est-à-dire la forme de la section transversale de l'objet), il faudra un couple plus important pour provoquer une déviation de l'objet en torsion. Cependant, il convient de noter que cela n'a aucune incidence sur la rigidité en torsion fournie à un objet par ses matériaux constitutifs ; le deuxième moment polaire de surface est simplement la rigidité fournie à un objet par sa seule forme. La rigidité à la torsion fournie par les caractéristiques du matériau est connue sous le nom de module de cisaillement, G $G$ . En reliant ces deux composantes de la rigidité, on peut calculer l'angle de torsion d'une poutre, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ en utilisant :

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Où T {\displaystyle T} $T$ est le moment appliqué (couple) et l {\displaystyle l} est $l$ la longueur du faisceau. Comme indiqué, des couples et des longueurs de faisceau plus élevés conduisent à des déviations angulaires plus importantes, où des valeurs plus élevées pour le moment polaire de la surface, J {\displaystyle J} $J$ et le module de cisaillement de la matière, G $G$ Le système d'alerte précoce, qui réduit le risque de déviation angulaire.

Un schéma montrant comment le moment polaire de surface ("moment polaire d'inertie") est calculé pour une forme arbitraire de surface, R, autour d'un axe o, où ρ est la distance radiale à l'élément dA.

Pages connexes

Moment (physique)
Deuxième moment de la zone
Liste des seconds moments de la surface pour les formes standard
Module de cisaillement

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que le moment d'inertie en physique ?

R : En physique, le moment d'inertie est strictement le second moment de la masse par rapport à la distance à un axe, qui caractérise l'accélération angulaire d'un objet sous l'effet d'un couple appliqué.

Q : À quoi le deuxième moment polaire de la surface fait-il référence en ingénierie ?

R : En ingénierie (notamment mécanique et civile), le moment d'inertie fait généralement référence au second moment de l'aire. Lorsque vous lisez "moment d'inertie polaire", veillez à vérifier qu'il s'agit bien du "second moment polaire de l'aire" et non du moment d'inertie. Le second moment polaire de l'aire aura des unités de longueur à la puissance 4 (par exemple m^4 ou in^4).

Q : Comment calcule-t-on le second moment polaire de l'aire ?

R : La formule mathématique pour un calcul direct est donnée comme une intégrale multiple sur l'aire d'une forme, R, à une distance ρ d'un axe arbitraire O. J_O=∬Rρ2dA. Dans sa forme la plus simple, la seconde polaire