La conjecture de Poincaré est une question sur les sphères des mathématiques. Elle porte le nom d'Henri Poincaré, le mathématicien et physicien français qui l'a formulée en 1904.
La sphère (également appelée "2-sphère", car il s'agit d'une surface bidimensionnelle, bien qu'elle soit généralement considérée comme se trouvant dans un espace tridimensionnel) a la propriété que toute boucle sur elle peut être contractée en un point (si un élastique est enroulé autour de la sphère, il est possible de la faire glisser jusqu'à un point). Les mathématiciens disent que la 2-sphère est simplement connectée. D'autres espaces n'ont pas cette propriété, par exemple le beignet : un élastique qui entoure une fois tout le beignet ne peut pas être glissé vers le bas jusqu'à un point sans qu'il ne quitte la surface.
Les mathématiciens savaient que cette propriété était unique à la 2-sphère, dans le sens où tout autre espace simplement connecté qui n'a pas de bords et qui est assez petit (en termes de mathématiciens, c'est-à-dire compact) est en fait la 2-sphère. Mais ce n'est plus vrai si l'on supprime l'idée de petitesse, car un plan infiniment grand est aussi simplement connecté. De même, un disque régulier (un cercle et son intérieur) est simplement connecté, mais il a un bord (le cercle de délimitation).
La conjecture demande s'il en va de même pour la 3-sphère, qui est un objet vivant naturellement en quatre dimensions. Cette question a motivé une grande partie des mathématiques modernes, en particulier dans le domaine de la topologie. La question a finalement été réglée en 2002 par Grigori Perelman, un mathématicien russe, avec des méthodes issues de la géométrie, montrant qu'elle est bien vraie. Il a reçu une médaille Fields et le prix du millénaire d'un million de dollars pour ses travaux, qu'il a tous deux déclinés.
La conjecture de Poincaré peut également être étendue à des dimensions supérieures : c'est la conjecture de Poincaré généralisée. Étonnamment, il a été plus facile de prouver le fait pour les sphères de dimensions supérieures : en 1960, Smale l'a prouvé pour la 5ème sphère, la 6ème sphère et les suivantes. En 1982, Freedman a prouvé que c'était également vrai pour la 4ème sphère, pour laquelle il a reçu une médaille Fields.