Parallélépipède

Propriétés

Chacune des trois paires de faces parallèles peut être considérée comme le plan de base du prisme. Un parallélépipède a trois ensembles de quatre arêtes parallèles ; les arêtes de chaque ensemble sont de longueur égale.

Les parallélépipèdes résultent des transformations linéaires d'un cube (pour les cas non dégénérés : les transformations linéaires bijectives).

Comme chaque visage présente une symétrie ponctuelle, un parallélépipède est un zonoèdre. Le parallélépipède entier a également une symétrie ponctuelle _Ci (voir aussi triclinique). Chaque face est, vue de l'extérieur, l'image miroir de la face opposée. Les faces sont en général chirales, mais le parallélépipède ne l'est pas.

Une tessellation de l'espace est possible avec des copies congruentes de n'importe quel parallélépipède.

Volume

Le volume d'un parallélépipède est le produit de la surface de sa base A et de sa hauteur h. La base est l'une des six faces du parallélépipède. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et la face opposée.

Une autre méthode définit les vecteurs a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) et c = (c1, c2, c3) pour représenter trois arêtes qui se rencontrent à un sommet. Le volume du parallélépipède est alors égal à la valeur absolue du produit scalaire triple a - (b × c) :

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Cela est vrai car, si nous choisissons b et c pour représenter les bords de la base, la surface de la base est, par définition, le produit croisé (voir la signification géométrique du produit croisé),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

où θ est l'angle entre b et c, et la hauteur est

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

où α est l'angle interne entre a et h.

On peut déduire de ce chiffre que la magnitude de α est limitée à 0° ≤ α < 90°. Au contraire, le vecteur b × c peut former avec a un angle interne β supérieur à 90° (0° ≤ β ≤ 180°). En d'autres termes, puisque b × c est parallèle à h, la valeur de β est soit β = α soit β = 180° - α. Donc

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

et

h = | a | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Nous concluons que

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

qui est, par définition du produit scalaire (ou point), équivalent à la valeur absolue de a - (b × c), D.E.Q.

Cette dernière expression est également équivalente à la valeur absolue du déterminant d'une matrice tridimensionnelle construite en utilisant a, b et c comme lignes (ou colonnes) :

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

On le trouve à l'aide de la règle de Cramer sur des matrices bidimensionnelles réduites en trois dimensions trouvées à partir de l'original.

Si a, b et c sont les longueurs des bords du parallélépipède, et si α, β et γ sont les angles internes entre les bords, le volume est

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}}. }

Tétraèdre correspondant

Le volume de tout tétraèdre qui partage trois bords convergents d'un parallélépipède est égal à un sixième du volume de ce parallélépipède (voir preuve).

Vecteurs définissant un parallélépipède.

Cas particuliers

Pour les parallélépipèdes avec un plan de symétrie, il y a deux cas :

• il a quatre faces rectangulaires
• il a deux faces en losange, alors que parmi les autres faces, deux adjacentes sont égales et les deux autres aussi (les deux paires sont l'image miroir l'une de l'autre).

Voir aussi monoclinique.

Un parallélépipède rectangle, également appelé parallélépipède rectangle ou parfois simplement parallélépipède, est un parallélépipède dont toutes les faces sont rectangulaires ; un cube est un parallélépipède à faces carrées.

Un rhomboèdre est un parallélépipède dont toutes les faces sont rhombiques ; un trapèze trigonal est un rhomboèdre dont les faces sont rhombiques et congruentes.

Parallélépipède rectangulaire

Parallélépipède parfait

Un parallélépipède parfait est un parallélépipède dont les bords sont de longueur entière, les diagonales de la face et les diagonales de l'espace. En 2009, l'existence de dizaines de parallélépipèdes parfaits a été démontrée, répondant ainsi à une question ouverte de Richard Guy. Un exemple comporte les arêtes 271, 106 et 103, les diagonales mineures 101, 266 et 255, les diagonales majeures 183, 312 et 323, et les diagonales spatiales 374, 300, 278 et 272.

On connaît quelques parallélépipèdes parfaits ayant deux faces rectangulaires. Mais on ne sait pas s'il en existe avec toutes les faces rectangulaires ; un tel cas serait appelé un parallélépipède parfait.

Parallelotope

Coxeter a appelé la généralisation d'un parallélépipède dans les dimensions supérieures un parallélotope.

Plus précisément, dans l'espace à n dimensions, on l'appelle parallélotope à n dimensions, ou simplement n-parallélotope. Ainsi, un parallélogramme est un parallélotope à 2 dimensions et un parallélépipède est un parallélotope à 3 dimensions.

Plus généralement, un parallélotope, ou voronoï parallèle, a des facettes opposées parallèles et congruentes. Ainsi, un parallélotope 2 est un parallélogone qui peut également comprendre certains hexagones, et un parallélotope 3 est un paralléloèdre, comprenant 5 types de polyèdres.

Les diagonales d'un n-parallèleotope se croisent en un point et sont coupées en deux par ce point. L'inversion de ce point laisse le n-parallèle inchangé. Voir aussi les points fixes des groupes isométriques dans l'espace euclidien.

Les arêtes rayonnant d'un sommet d'un parallélotope k forment un cadre k ( v 1 , ... , v n ) de l'espace vectoriel, et le parallélotope peut être récupéré à partir de ces vecteurs, en prenant des combinaisons linéaires des vecteurs, avec des poids entre 0 et 1.

Le n-volume d'un n-parallèle incorporé dans R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} où m ≥ n {\displaystyle m\geq n} peut être calculé au moyen du déterminant Gram. Alternativement, le volume est la norme du produit extérieur des vecteurs :

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Si m = n, cela équivaut à la valeur absolue du déterminant des n vecteurs.

Une autre formule pour calculer le volume d'un n-parallèle P dans R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dont les n + 1 sommets sont V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n} est

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}}, [V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

où [ V i 1 ] [style d'affichage [V_{i}\ 1]} est le vecteur ligne formé par la concaténation de V i [style d'affichage V_{i}} et 1. En effet, le déterminant est inchangé si [ V 0 1 ] [style d'affichage [V_{0}\ 1]} est soustrait de [ V i 1 ] [style d'affichage [V_{i}\ 1]}. (i > 0), et le fait de placer [ V 0 1 ] [style d'affichage [V_{0}\ 1]} en dernière position ne fait que changer son signe.

De même, le volume de tout n-simplex qui partage n bords convergents d'un parallélotope a un volume égal à un 1/n ! du volume de ce parallélotope.

Lexicographie

Le mot apparaît comme parallélépipède dans la traduction de Sir Henry Billingsley des Éléments d'Euclide, datée de 1570. Dans l'édition de 1644 de son Cursus mathematicus, Pierre Hérigone a utilisé l'orthographe parallélipipède. L'Oxford English Dictionary cite le parallélépipède actuel comme apparaissant pour la première fois dans le Chorea gigantum de Walter Charleton (1663).

Le Dictionnaire de Charles Hutton (1795) montre le parallélépipède et le parallélépipède, montrant l'influence de la forme combinée parallélo-, comme si le deuxième élément était pipedon plutôt qu'épipède. Noah Webster (1806) inclut l'orthographe parallélopipède. L'édition 1989 de l'Oxford English Dictionary décrit explicitement les parallélopipèdes (et les parallélépipèdes) comme des formes incorrectes, mais celles-ci sont énumérées sans commentaire dans l'édition 2004, et seules les prononciations mettant l'accent sur la cinquième syllabe pi (/paɪ/) sont données.

Un changement de prononciation a caché la partition différente suggérée par les racines grecques, avec l'épi- ("on") et le pédon ("ground") se combinant pour donner l'épi, un "plan" plat. Ainsi, les faces d'un parallélépipède sont planes, les faces opposées étant parallèles.