Axiome des parallèles

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

En géométrie, le postulat de parallélisme est l'un des axiomes de la géométrie euclidienne. On l'appelle aussi parfois le cinquième postulat d'Euclide, car il s'agit du cinquième postulat des éléments d'Euclide.

C'est ce que dit le postulat :

Si vous coupez un segment de ligne avec deux lignes, et que les deux angles intérieurs que forment les lignes s'additionnent à moins de 180°, alors les deux lignes finiront par se rencontrer si vous les prolongez suffisamment.

Le domaine de la géométrie qui suit tous les axiomes d'Euclide est appelé géométrie euclidienne. Les géométries qui ne suivent pas tous les axiomes d'Euclide sont appelées géométrie non euclidienne.

Si la somme des angles intérieurs α (alpha) et β (bêta) est inférieure à 180°, les deux lignes se croiseront quelque part, si elles se prolongent toutes deux à l'infini.

Histoire

Certains mathématiciens pensaient que le cinquième postulat d'Euclide était beaucoup plus long et plus compliqué que les quatre autres postulats. Beaucoup d'entre eux pensaient qu'il pouvait être prouvé à partir des autres axiomes plus simples. Quelques mathématiciens ont annoncé qu'ils avaient prouvé la proposition à partir des propositions plus simples, mais ils se sont tous trompés.

L'axiome de Playfair

Une autre proposition plus récente, connue sous le nom d'axiome de Playfair, est similaire au cinquième postulat d'Euclide. Il dit que :

Si vous avez une ligne droite et un point qui n'est pas sur cette ligne, vous ne pouvez tracer qu'une seule ligne droite passant par ce point et qui ne rencontrera pas l'autre ligne droite.

En fait, les mathématiciens ont découvert que cet axiome est non seulement similaire au cinquième postulat d'Euclide, mais qu'il a exactement les mêmes implications. Mathématiquement, les deux propositions sont appelées propositions "équivalentes". Aujourd'hui, l'axiome de Playfair est plus souvent utilisé par les mathématiciens que le postulat parallèle original d'Euclide.

Géométrie non euclidienne

Finalement, certains mathématiciens ont essayé de construire de nouvelles géométries sans utiliser l'axiome. Un type de géométrie non euclidienne est appelé géométrie elliptique. Dans la géométrie elliptique, le postulat parallèle est remplacé par un axiome qui stipule que :

Étant donné une ligne droite et un point qui n'est pas sur cette ligne, vous ne pouvez pas tracer une ligne droite passant par ce point qui ne croise pas éventuellement l'autre ligne droite.

Les mathématiciens ont découvert que lorsqu'ils ont remplacé le cinquième postulat d'Euclide par cet axiome, ils étaient encore capables de prouver de nombreux autres théorèmes d'Euclide. Une façon d'imaginer la géométrie elliptique est de penser à la surface d'un globe. Sur un globe, les lignes de longitude semblent être parallèles à l'équateur, mais elles se rejoignent toutes aux pôles. À la fin du XIXe siècle, la géométrie elliptique s'est avérée cohérente. Cela a prouvé que le cinquième postulat d'Euclide n'était pas indépendant des autres postulats. Après cela, les mathématiciens ont pour la plupart cessé d'essayer de prouver le cinquième postulat à partir des quatre autres postulats. Au lieu de cela, de nombreux mathématiciens ont commencé à étudier d'autres géométries qui ne suivent pas le cinquième postulat d'Euclide.

Un autre axiome des mathématiciens remplace parfois le cinquième axiome d'Euclide en disant cela :

Si vous avez une ligne droite et un point qui n'est pas sur cette ligne, vous pouvez tracer au moins deux lignes droites passant par ce point et qui ne croiseront pas éventuellement l'autre ligne droite.

C'est ce qu'on appelle la géométrie hyperbolique.

Une autre géométrie supprime simplement le cinquième postulat d'Euclide et ne le remplace par rien. C'est ce qu'on appelle la géométrie neutre ou la géométrie absolue.