Nombre

Méthodes de numérotation

Des numéros pour les gens

Il existe différentes façons de donner des symboles aux chiffres. Ces méthodes sont appelées systèmes de nombres. Le système de numérotation le plus courant est celui de la base 10. Le système des nombres en base dix est également appelé système des nombres décimaux. Le système des nombres en base dix est courant car les gens ont dix doigts et dix orteils. Il y a dix symboles différents {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9} utilisés dans le système des nombres en base dix. Ces dix symboles sont appelés des chiffres.

Le symbole d'un nombre est constitué de ces dix chiffres. La position des chiffres indique la taille du nombre. Par exemple, le nombre 23 dans le système des nombres décimaux signifie en réalité (2 fois 10) plus 3, et 101 signifie 1 fois cent (=100) plus 0 fois 10 (=0) plus 1 fois 1 (=1).

Numéros de machines

Un autre système de numérotation est plus courant pour les machines. Le système de numérotation des machines est appelé le système de numérotation binaire. Le système de nombres binaires est également appelé système de nombres de base deux. Deux symboles différents (0 et 1) sont utilisés dans le système des nombres en base 2. Ces deux symboles sont appelés des bits.

Un symbole pour un nombre binaire est composé de ces deux symboles binaires. La position des symboles binaires indique la taille du nombre. Par exemple, le nombre 10 dans le système des nombres binaires signifie en réalité 1 fois 2 plus 0, et 101 signifie 1 fois quatre (=4) plus 0 fois deux (=0) plus 1 fois 1 (=1). Le nombre binaire 10 est le même que le nombre décimal 2. Le nombre binaire 101 est le même que le nombre décimal 5.

Noms des numéros

L'anglais a des noms spéciaux pour certains des nombres du système de nombres décimaux qui sont des "puissances de dix". Toutes ces puissances de dix dans le système des nombres décimaux utilisent uniquement le symbole "1" et le symbole "0". Par exemple, dix dix est la même chose que dix fois dix, ou cent. Dans les symboles, c'est "10 × 10 = 100". De même, dix cents est égal à dix fois cent, ou mille. En symboles, c'est "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". D'autres puissances de dix chiffres ont également des noms spéciaux :

• 1 - un
• 10 - 10
• 100 - cent
• 1000 - mille
• 1.000.000 - un million

Lorsqu'il s'agit de nombres plus importants, il existe deux façons différentes de nommer les nombres en anglais. Dans le cadre de l'"échelle longue", un nouveau nom est donné chaque fois que le nombre est un million de fois plus grand que le dernier nombre nommé. Il est également appelé "British Standard". Cette échelle était autrefois courante en Grande-Bretagne, mais elle n'est plus souvent utilisée dans les pays anglophones aujourd'hui. Elle est encore utilisée dans certains autres pays européens. Une autre échelle est l'"échelle courte", selon laquelle un nouveau nom est donné chaque fois qu'un nombre est mille fois plus grand que le dernier nombre nommé. Cette échelle est beaucoup plus courante dans la plupart des pays anglophones aujourd'hui.

• 1.000.000.000 - un milliard (échelle courte), un milliard (échelle longue)
• 1.000.000.000.000 - un trillion (échelle courte), un milliard (échelle longue)
• 1.000.000.000.000 - un quadrillion (échelle courte), un billard (échelle longue)

Types de numéros

Les nombres naturels

Les nombres naturels sont les nombres que nous utilisons normalement pour compter, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 etc. Certains disent que 0 est aussi un nombre naturel.

Ces numéros sont également appelés numéros positifs. Ces nombres sont parfois écrits avec un +1 pour montrer qu'ils sont différents des nombres négatifs. Mais tous les nombres positifs ne sont pas naturels (par exemple, 1 2 est positif, mais pas naturel).

Si 0 est appelé un nombre naturel, alors les nombres naturels sont les mêmes que les nombres entiers. Si 0 n'est pas appelé un nombre naturel, alors les nombres naturels sont les mêmes que les nombres de comptage. Ainsi, si les mots "nombres naturels" ne sont pas utilisés, il y aura moins de confusion sur le fait de savoir si le zéro est inclus ou non. Mais malheureusement, certains disent que le zéro n'est pas non plus un nombre entier, et d'autres que les nombres entiers peuvent être négatifs. Les "nombres entiers positifs" et les "nombres entiers non négatifs" sont une autre façon d'inclure ou d'exclure zéro, mais seulement si les gens connaissent ces mots.

Chiffres négatifs

Les nombres négatifs sont des nombres inférieurs à zéro.

Une façon de penser aux nombres négatifs est d'utiliser une ligne de chiffres. Nous appelons un point sur cette ligne zéro. Ensuite, nous allons étiqueter (écrire le nom de) chaque position sur la ligne en fonction de la distance à droite du point zéro, par exemple le point un est à un centimètre à droite, le point deux est à deux centimètres à droite.

Pensez maintenant à un point qui se trouve à un centimètre à gauche du point zéro. Nous ne pouvons pas appeler ce point un, car il existe déjà un point appelé un. Nous appelons donc ce point moins 1 (-1) (car il se trouve à un centimètre, mais dans la direction opposée).

Un dessin d'une ligne de chiffres se trouve ci-dessous.

Toutes les opérations normales des mathématiques peuvent être effectuées avec des nombres négatifs :

Si les gens ajoutent un nombre négatif à un autre, cela revient à enlever le nombre positif avec les mêmes chiffres. Par exemple, 5 + (-3) équivaut à 5 - 3, et est égal à 2.

S'ils enlèvent un nombre négatif à un autre, c'est la même chose que d'ajouter le nombre positif avec les mêmes chiffres. Par exemple, 5 - (-3) équivaut à 5 + 3, et est égal à 8.

S'ils multiplient deux nombres négatifs ensemble, ils obtiennent un nombre positif. Par exemple, -5 fois -3 équivaut à 15.

S'ils multiplient un nombre négatif par un nombre positif, ou s'ils multiplient un nombre positif par un nombre négatif, ils obtiennent un résultat négatif. Par exemple, 5 fois -3 équivaut à -15.

Comme il est impossible de trouver la racine carrée d'un nombre négatif, puisque le nombre négatif multiplié par le nombre négatif est égal au nombre possédé. Nous simbolisons la racine carrée d'un nombre négatif sous la forme i.

Entiers

Les nombres entiers sont tous les nombres naturels, tous leurs opposés et le nombre zéro. Les nombres décimaux et les fractions ne sont pas des entiers.

Numéros rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions. Cela signifie qu'ils peuvent être écrits sous la forme a divisé par b, où les nombres a et b sont des entiers, et b n'est pas égal à 0.

Certains nombres rationnels, tels que 1/10, ont besoin d'un nombre fini de chiffres après la virgule pour les écrire sous forme décimale. Le nombre un dixième s'écrit sous forme décimale comme 0,1. Les nombres écrits avec une forme décimale finie sont rationnels. Certains nombres rationnels, tels que 1/11, ont besoin d'un nombre infini de chiffres après la virgule pour s'écrire sous forme décimale. Les chiffres qui suivent le point décimal se répètent. Le nombre un onzième s'écrit sous forme décimale comme 0,090909090909 ... .

Un pourcentage pourrait être appelé un nombre rationnel, car un pourcentage comme 7 % peut s'écrire comme la fraction 7/100. Il peut également s'écrire sous la forme de la décimale 0,07. Parfois, un ratio est considéré comme un nombre rationnel.

Chiffres irrationnels

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction, mais qui n'ont pas de parties imaginaires (expliqué plus loin).

Les nombres irrationnels se produisent souvent en géométrie. Par exemple, si nous avons un carré d'un mètre de côté, la distance entre les coins opposés est la racine carrée de deux, qui est égale à 1,414213 ... . Il s'agit d'un nombre irrationnel. Les mathématiciens ont prouvé que la racine carrée de tout nombre naturel est soit un nombre entier, soit un nombre irrationnel.

Un nombre irrationnel bien connu est pi. Il s'agit de la circonférence (distance autour) d'un cercle divisée par son diamètre (distance en travers). Ce nombre est le même pour tous les cercles. Le nombre pi est approximativement de 3,1415926535 ... .

Un nombre irrationnel ne peut pas être entièrement écrit sous forme décimale. Il aurait un nombre infini de chiffres après la virgule. Contrairement à 0,333333 ..., ces chiffres ne se répéteraient pas indéfiniment.

Chiffres réels

Les numéros réels sont un nom pour tous les ensembles de numéros énumérés ci-dessus :

• Les nombres rationnels, y compris les entiers
• Les chiffres irrationnels

Il s'agit de tous les chiffres qui n'impliquent pas de nombres imaginaires.

Numéros imaginaires

Les nombres imaginaires sont formés par des nombres réels multipliés par le nombre i. Ce nombre est la racine carrée de moins un (-1).

Il n'y a pas de nombre dans les nombres réels qui, au carré, donne le nombre -1. C'est pourquoi les mathématiciens ont inventé un nombre. Ils ont appelé ce nombre i, ou l'unité imaginaire.

Les nombres imaginaires fonctionnent selon les mêmes règles que les nombres réels :

• La somme de deux nombres imaginaires est obtenue en extrayant (en factorisant) le i. Par exemple, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• La différence entre deux nombres imaginaires se retrouve de la même manière. Par exemple, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Lorsque vous multipliez deux nombres imaginaires, souvenez-vous que i × i (i2) est égal à -1. Par exemple, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Les nombres imaginaires ont été appelés imaginaires parce que lorsqu'ils ont été découverts, de nombreux mathématiciens ne pensaient pas qu'ils existaient. ^[] La personne qui a découvert les nombres imaginaires était Gerolamo Cardano dans les années 1500. Le premier à utiliser les mots "nombre imaginaire" a été René Descartes. Les premiers à utiliser ces nombres ont été Leonard Euler et Carl Friedrich Gauss. Tous deux ont vécu au XVIIIe siècle.

Des chiffres complexes

Les nombres complexes sont des nombres qui ont deux parties : une partie réelle et une partie imaginaire. Chaque type de nombre écrit ci-dessus est également un nombre complexe.

Les nombres complexes sont une forme plus générale de nombres. Les nombres complexes peuvent être dessinés sur un plan de nombres. Celui-ci est composé d'une ligne de nombres réels et d'une ligne de nombres imaginaires.

            3i|_ |               |                           2i|_           . 2+2i |                             |              i|_ |                             | | | | | | | | | | ________________________________________-2     -1      0      1      2      3      4      5      6 |                           -i|_                 .3-i |               |               .-2-2i    -2i|_ | |            -3i|_              |                            

Toutes les mathématiques normales peuvent être faites avec des nombres complexes :

• Pour ajouter deux nombres complexes, il faut ajouter les parties réelle et imaginaire séparément. Par exemple, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Pour soustraire un nombre complexe d'un autre, il faut soustraire les parties réelle et imaginaire séparément. Par exemple, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Multiplier deux nombres complexes est compliqué. Il est plus facile de le décrire en termes généraux, avec deux nombres complexes a + bi et c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\style d'affichage (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Par exemple, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Des chiffres transcendants

Un nombre réel ou complexe est appelé nombre transcendantal s'il ne peut être obtenu à la suite d'une équation algébrique à coefficients entiers.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Prouver qu'un certain nombre est transcendantal peut être extrêmement difficile. Chaque nombre transcendantal est aussi un nombre irrationnel. Les premiers à avoir vu qu'il existait des nombres transcendantaux sont Gottfried Wilhelm Leibniz et Leonhard Euler. Le premier à prouver réellement qu'il y avait des nombres transcendantaux a été Joseph Liouville. Il l'a fait en 1844.

Des chiffres transcendantaux bien connus :

• e
• π
• ea pour l'algébrique a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 est irrationnel.