Méthode de Newton
La méthode de Newton permet de trouver les vrais zéros d'une fonction. Cet algorithme est parfois appelé la méthode Newton-Raphson, du nom de Sir Isaac Newton et Joseph Raphson.
La méthode utilise la dérivée de la fonction afin de trouver ses racines. Une "valeur de supposition" initiale pour l'emplacement du zéro doit être effectuée. À partir de cette valeur, une nouvelle estimation est calculée par cette formule :
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}}
Ici, xn est la supposition initiale et xn+1 est la supposition suivante. La fonction f (dont le zéro est résolu) a la dérivée f'.
En appliquant de manière répétée cette formule aux suppositions générées (c'est-à-dire en fixant la valeur de xn à la sortie de la formule et en recalculant), la valeur des suppositions s'approchera d'un zéro de la fonction.
La méthode de Newton peut être expliquée graphiquement en regardant les intersections des lignes tangentes avec l'axe des abscisses. On calcule d'abord une ligne tangente au f en xn. Ensuite, on trouve l'intersection entre cette ligne tangente et l'axe des x. Enfin, la position x de cette intersection est enregistrée comme la prochaine estimation, xn+1.
La fonction (bleue) est utilisée pour calculer la pente d'une ligne tangente (rouge) à xn.
Problèmes avec la méthode de Newton
La méthode de Newton peut trouver une solution rapidement si la valeur de supposition commence suffisamment près de la racine souhaitée. Cependant, lorsque la valeur initiale n'est pas proche, et selon la fonction, la méthode de Newton peut trouver la réponse lentement ou pas du tout.
Lectures complémentaires
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). La méthode de Newton : Une approche actualisée de la théorie de Kantorovich. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, deuxième édition imprimée. Série Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". Dans Brezinski, C. ; Wuytack, L. (eds.). Analyse numérique : Développements historiques au 20e siècle. North-Holland. pp. 241-263.
Voir aussi
- Le théorème de Kantorovich (Déclaration sur la convergence de la méthode de Newton, trouvée par Leonid Kantorovich)
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Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que la méthode de Newton ?
R : La méthode de Newton est un algorithme permettant de trouver les zéros réels d'une fonction. Elle utilise la dérivée de la fonction pour calculer ses racines, et nécessite une valeur initiale pour l'emplacement du zéro.
Q : Qui a développé cette méthode ?
R : La méthode a été développée par Sir Isaac Newton et Joseph Raphson, c'est pourquoi elle est parfois appelée la méthode Newton-Raphson.
Q : Comment cet algorithme fonctionne-t-il ?
R : Cet algorithme fonctionne en appliquant de manière répétée une formule qui prend en compte une valeur de supposition initiale (xn) et calcule une nouvelle supposition (xn+1). En répétant ce processus, les suppositions s'approcheront d'un zéro de la fonction.
Q : Que faut-il pour utiliser cet algorithme ?
R : Pour utiliser cet algorithme, vous devez avoir une "valeur de supposition" initiale pour l'emplacement du zéro ainsi que des connaissances sur la dérivée de votre fonction donnée.
Q : Comment pouvons-nous expliquer la méthode de Newton de manière graphique ?
R : Nous pouvons expliquer la méthode de Newton graphiquement en examinant les intersections entre les lignes tangentes et l'axe des x. Tout d'abord, on calcule une ligne tangente à f à xn. Ensuite, on trouve l'intersection entre cette ligne tangente et l'axe des x et on enregistre sa position en x comme notre prochaine estimation - xn+1.
Q : Y a-t-il des limites à l'utilisation de la méthode de Newton ?
R : Oui, si la valeur de votre estimation initiale est trop éloignée de la racine réelle, cela peut prendre plus de temps ou même ne pas converger vers la racine en raison des oscillations autour de celle-ci ou de la divergence par rapport à elle.
