Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell dans les formes classiques

Nom	Forme différentielle	Forme intégrale
La loi de Gauss :	∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \point _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV}
La loi de Gauss pour le magnétisme (absence de monopoles magnétiques) :	∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}	∮ S B ⋅ d A = 0 {\displaystyle \point _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}
La loi d'induction de Faraday :	∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partie t}}}	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\oint _{C}\mathbf {B} \times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
La loi d'Ampère  (avec l'extension de Maxwell) :	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partie t}}}	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \point _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partiel t}}\cdot d\mathbf {A} }

où le tableau suivant donne la signification de chaque symbole et l'unité de mesure SI :

Symbole	Signification	Unité de mesure SI
E {\displaystyle \mathbf {E} }	champ électrique	volt par mètre
H {\displaystyle \mathbf {H} }	l'intensité du champ magnétique	ampère par mètre
D {\displaystyle \mathbf {D} }	champ de déplacement électrique	coulomb par mètre carré
B {\displaystyle \mathbf {B} }	la densité de flux magnétique, également appelée induction magnétique.	tesla, ou équivalent, weber par mètre carré
ρ {\displaystyle \ \rho \ }	la densité de charge électrique gratuite, sans compter les charges dipolaires liées dans un matériau.	coulomb par mètre cube
J {\displaystyle \mathbf {J} }	la densité de courant libre,  sans compter les courants de polarisation ou d'aimantation liés dans un matériau.	ampère par mètre carré
d A {\displaystyle d\mathbf {A} }	élément vectoriel différentiel de la surface A, de très faible amplitude et de direction normale à la surface S	mètres carrés
d V {\displaystyle dV\ }	élément différentiel de volume V entouré par la surface S	mètres cubes
d l {\displaystyle d\mathbf {l} }	élément vectoriel différentiel de la longueur du trajet tangentiel au contour C entourant la surface c	mètres
v {\displaystyle \mathbf {v} }	vitesse instantanée de l'élément de ligne d l {\displaystyle d\mathbf {l} } définis ci-dessus (pour les circuits mobiles).	mètres par seconde

et

∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } est l'opérateur de divergence (unité SI : 1 par mètre),

∇ × {\displaystyle \nabla \times } est l'opérateur de la boucle (unité SI : 1 par mètre).

La signification des équations

La densité de charge et le champ électrique

∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } ,

où ρ {\displaystyle {\rho }} est la densité de charge électrique libre (en unités de C/m3), sans compter les charges dipolaires liées dans un matériau, et D {\displaystyle \mathbf {D} } est le champ de déplacement électrique (en unités de C/m2). Cette équation est semblable à la loi de Coulomb pour les charges non mobiles dans le vide.

La forme intégrale suivante (par le théorème de divergence), également connue sous le nom de loi de Gauss, dit la même chose :

∮ A D ⋅ d A = Q joint {\displaystyle \point _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{\enclos}}}

d A {\displaystyle d\mathbf {A} est l'aire d'un carré différentiel sur la surface fermée A. La normale à la surface qui indique la direction, et le Q enclos {{\text{enclos}}} est la gratuité qui se trouve à l'intérieur de la surface.

Dans un matériau linéaire, D {\displaystyle \mathbf {D} } est directement lié au champ électrique E {\displaystyle \mathbf {E} } avec une constante appelée la permittivité, ε {\displaystyle \varepsilon } (Cette constante est différente pour les différents matériaux) :

D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } .

Vous pouvez prétendre qu'un matériau est linéaire, si le champ électrique n'est pas très fort.

La permittivité de l'espace libre est appelée ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} et est utilisé dans cette équation :

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}

Ici E {\displaystyle \mathbf {E} } est le champ électrique à nouveau (en unités de V/m), ρ t {\displaystyle \rho _{t}} est la densité de charge totale (y compris les charges liées), et ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} (environ 8,854 pF/m) est la permittivité de l'espace libre. On peut aussi écrire ε {\displaystyle \varepsilon } comme ε 0 ⋅ ε r {\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}} . Ici, ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} est la permittivité du matériau par rapport à la permittivité de l'espace libre. C'est ce qu'on appelle la permittivité relative ou constante diélectrique.

Voir aussi l'équation de Poisson.

La structure du champ magnétique

∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

B {\displaystyle \mathbf {B} } est la densité de flux magnétique (en unités de tesla, T), également appelée induction magnétique.

La forme intégrale suivante dit la même chose :

∮ A B ⋅ d A = 0 {\displaystyle \point _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}

La zone de d A {\displaystyle d\mathbf {A} est l'aire d'un carré différentiel sur la surface A . La direction de d A {\displaystyle d\mathbf {A} est la normale de surface pointant vers l'extérieur sur la surface de A .

Cette équation ne fonctionne que si l'intégrale est faite sur une surface fermée. Cette équation dit que dans chaque volume, la somme des lignes de champ magnétique qui entrent est égale à la somme des lignes de champ magnétique qui sortent. Cela signifie que les lignes de champ magnétique doivent être des boucles fermées. Une autre façon de le dire est que les lignes de champ ne peuvent pas partir de quelque part. C'est la façon mathématique de le dire : "Il n'y a pas de monopoles magnétiques".

Un flux magnétique et un champ électrique changeants

∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partie t}}}

La forme intégrale suivante dit la même chose :

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }{dt}}}

Ici Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }

C'est ce que signifient les symboles :

_ΦB est le flux magnétique qui traverse la zone A que décrit la deuxième équation,

E est le champ électrique que le flux magnétique provoque,

est un chemin fermé dans lequel le courant est induit, par exemple un fil,

v est la vitesse instantanée de l'élément de ligne (pour les circuits en mouvement).

La force électromotrice est égale à la valeur de cette intégrale. Ce symbole est parfois utilisé pour la force électromotrice : E {\displaystyle {\mathcal {E}}} ne le confondez pas avec le symbole de la permittivité qui était utilisé auparavant.

Cette loi est comme la loi de Faraday sur l'induction électromagnétique.

Certains manuels montrent le signe de la main droite de la forme intégrale avec un N (N est le nombre de bobines de fil qui sont autour du bord de A) devant la dérivée du flux. Le N peut être pris en compte dans le calcul de A (plusieurs bobines de fil signifie plusieurs surfaces à travers lesquelles le flux passe), et c'est un détail technique donc il est laissé de côté ici.

Le signe négatif est nécessaire pour la conservation de l'énergie. Il est si important qu'il a même son propre nom, la loi de Lenz.

Cette équation montre le rapport entre les champs électriques et magnétiques. Par exemple, cette équation explique le fonctionnement des moteurs électriques et des générateurs électriques. Dans un moteur ou une génératrice, le circuit de champ a un champ électrique fixe qui provoque un champ magnétique. C'est ce qu'on appelle une excitation fixe. La tension variable est mesurée aux bornes du circuit d'induit. Les équations de Maxwell sont utilisées dans un système de coordonnées pour droitiers. Pour les utiliser dans un système pour gauchers, sans avoir à changer les équations, il faut que la polarité des champs magnétiques soit opposée (ce n'est pas faux, mais c'est déroutant car cela ne se fait généralement pas de cette manière).

La source du champ magnétique

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partie t}}}

H est l'intensité du champ magnétique (en unités A/m), que l'on peut obtenir en divisant le flux magnétique B par une constante appelée perméabilité, μ (B = μH), et J est la densité de courant, définie par :

J = ∫ρqvdA

v est un champ vectoriel appelé vitesse de dérive. Il décrit les vitesses des porteurs de charge qui ont une densité décrite par la fonction scalaire ρq.

Dans l'espace libre, la perméabilité μ est la perméabilité de l'espace libre, _μ0, qui est exactement 4π×10-7 W/A-m, par définition. De même, la permittivité est la permittivité de l'espace libre _ε0. Ainsi, dans l'espace libre, l'équation est la suivante

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partie t}}}

La forme intégrale suivante dit la même chose :

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I encerclé + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{\encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partiel t}}\cdot d\mathbf {A} }

s est le bord de la surface ouverte A (toute surface ayant la courbe s comme bord est acceptable ici), et Iencircled est le courant encerclé par la courbe s (le courant à travers toute surface est défini par l'équation : Ià travers _A = ∫AJ-dA).

Si la densité du flux électrique ne change pas très vite, le deuxième terme à droite (le flux de déplacement) est très petit et peut être laissé de côté, et alors l'équation est la même que la loi d'Ampère.

Formulation covariante

Il n'y a que deux équations de Maxwell covariantes, car le vecteur champ covariant comprend le champ électrique et le champ magnétique.

Note mathématique : dans cette section, la notation de l'index des résumés sera utilisée.

Dans la relativité spéciale, les équations de Maxwell pour le vide sont écrites en termes de quatre vecteurs et tenseurs sous la forme "manifestement covariante". Ceci a été fait pour montrer plus clairement le fait que les équations de Maxwell (dans le vide) prennent la même forme dans tout système de coordonnées inertielles. Il s'agit de la forme "manifestement covariante" :

J b = ∂ a F a b {\displaystyle J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\ ! } ,

et

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\displaystyle 0=\partiel _{c}F_{ab}+\partiel _{b}F_{ca}+\partiel _{a}F_{bc}}

La deuxième équation est la même que :

0 = ε d a b c ∂ a F b c {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\ ! }

Ici, J a est le courant 4, F a b est le tenseur de champ (écrit sous forme de matrice 4 × 4), ε a b c d est le symbole Levi-Civita, et ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )} est le 4-gradient (de sorte que ∂ a ∂ a {\displaystyle \partial _{a}\partial ^{a}} est l'opérateur d'Alembertian). (Le a {\displaystyle a} dans la première équation est implicitement additionné, selon la notation d'Einstein). La première équation du tenseur dit la même chose que les deux équations inhomogènes de Maxwell : La loi de Gauss et la loi d'Ampère avec la correction de Maxwell. La deuxième équation dit la même chose que les deux autres équations, les équations homogènes : La loi de Faraday sur l'induction et l'absence de monopoles magnétiques.

Le style d'affichage J a peut aussi être décrit plus explicitement par cette équation : J a = ( c ρ , J → ) {\displaystyle J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})} (en tant que vecteur contravariant), où vous obtenez J a {\displaystyle \,J^{a}} de la densité de charge ρ et de la densité de courant J → {\displaystyle {\vec {J}}}} . Le courant quadruple est une solution à l'équation de continuité :

J a , a = 0 J^{a}{}_{,a}\,=0}

En termes de potentiel 4 (en tant que vecteur contravariant) A a = ( ϕ , A → c ) où φ est le potentiel électrique et A → est le potentiel du vecteur magnétique dans la jauge de Lorentz ( ∂ a A a = 0 ) F peut être écrit comme :

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {\displaystyle F^{ab}=\partiel ^{b}A^{a}-\partiel ^{a}A^{b}\,\ ! }

ce qui conduit au tenseur de rang 2 de la matrice 4 × 4 :

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . {\displaystyle F^{ab}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). }

Le fait que les champs électriques et magnétiques soient combinés en un seul tenseur montre que, selon la relativité, ces deux éléments sont des parties différentes d'une même chose - en changeant les cadres de référence, ce qui ressemble à un champ électrique dans un cadre peut ressembler à un champ magnétique dans un autre cadre, et inversement.

En utilisant la forme tensorielle des équations de Maxwell, la première équation implique

◻ F a b = 0 {\displaystyle \Box F^{ab}=0} (Voir quadruple potentiel électromagnétique pour la relation entre le d'Alembertian du quadruple potentiel et du quadruple courant, exprimée en termes de l'ancienne notation de l'opérateur vectoriel).

Les différents auteurs utilisent parfois des conventions de signes différentes pour ces tenseurs et ces 4 vecteurs (mais cela ne change pas leur signification).

F a b {\displaystyle \,F^{ab}}} et F a b {\displaystyle \,F_{ab}} ne sont pas les mêmes : ils sont liés par le tenseur métrique de Minkowski η {\displaystyle \eta } : F a b = η a c η b d F c d {\displaystyle F_{ab}=\,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}} . Cela change le signe de certaines des composantes de F ; des dualités métriques plus complexes peuvent être observées dans la relativité générale.