Matrice (mathématiques) : définition, opérations, exemples et usages

Les lignes horizontales dans une matrice sont appelées lignes et les lignes verticales sont appelées colonnes. Une matrice de m lignes et n colonnes est appelée matrice m par n (ou matrice m×n) et m et n sont appelés ses dimensions.

Les endroits de la matrice où se trouvent les numéros sont appelés des entrées. L'entrée d'une matrice A qui se trouve dans la ligne i et la colonne j est appelée entrée i,j de A. Elle s'écrit A[i,j] ou _ai,j.

Nous écrivons A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} pour définir une matrice A m × n avec chaque entrée dans la matrice appelée _ai,j pour tous les 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.

Exemple

La matrice

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}

est une matrice 4×3. Cette matrice a m=4 lignes, et n=3 colonnes.

L'élément A [2,3] ou a2_,3 est 7.

Ajout

La somme de deux matrices est la matrice, dont la (i,j)-ième entrée est égale à la somme des (i,j)-ième entrées de deux matrices :

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\style d'affichage {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Les deux matrices ont les mêmes dimensions. Ici, A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} est vrai.

Multiplication de deux matrices

La multiplication de deux matrices est un peu plus compliquée :

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\\end{bmatrix}}}}

Donc avec les chiffres :

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\1&4\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\\\22&3\\\\\\end{bmatrix}}}}

• deux matrices peuvent être multipliées entre elles même si elles ont des dimensions différentes, à condition que le nombre de colonnes dans la première matrice soit égal au nombre de lignes dans la seconde.
• le résultat de la multiplication, appelé le produit, est une autre matrice avec le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième matrice.
• la multiplication des matrices n'est pas commutative, ce qui signifie en général que A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• la multiplication des matrices est associative, ce qui signifie que ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Certaines matrices sont spéciales.

Matrice carrée

Une matrice carrée a le même nombre de lignes que de colonnes, donc m=n.

Voici un exemple de matrice carrée

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\ end{bmatrix}}}

Cette matrice comporte 3 lignes et 3 colonnes : m=n=3.

Identité

Chaque ensemble de dimensions carrées d'une matrice a une contrepartie spéciale appelée "matrice d'identité". La matrice d'identité n'a que des zéros, sauf sur la diagonale principale, où il y a tous les uns. Par exemple :

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\\\\ end{bmatrix}}}

est une matrice d'identité. Il existe exactement une matrice d'identité pour chaque ensemble de dimensions carrées. Une matrice d'identité est spéciale car, en multipliant une matrice par la matrice d'identité, le résultat est toujours la matrice d'origine sans aucun changement.

Matrice inverse

Une matrice inverse est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par une autre matrice, est égale à la matrice d'identité. Par exemple :

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

7 - 8 - 6 7] [style d'affichage] 7&-8\\\\-6&7\\\\\\ fin{bmatrix}}} est l'inverse de [7 8 6 7] [style d'affichage] 7&8\\\\6&7\\\\\ fin{bmatrix}}} .

La formule pour l'inverse d'une matrice 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\\\z&v\end{bmatrix}} est :

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\\\\-z&x\end{bmatrix}}}

Où d e t {\displaystyle det} est le déterminant de la matrice. Dans une matrice 2x2, le déterminant est égal à

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matrice à une colonne

Une matrice, qui comporte plusieurs lignes, mais une seule colonne, est appelée un vecteur colonne.

Le déterminant prend une matrice carrée et calcule un nombre simple, un scalaire. Pour comprendre la signification de ce nombre, prenez chaque colonne de la matrice et dessinez-la comme un vecteur. Le parallélogramme dessiné par ces vecteurs a une aire, qui est le déterminant. Pour toutes les matrices 2x2, la formule est très simple : det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\\\\ end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Pour les matrices 3x3, la formule est plus compliquée : det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Il n'existe pas de formule simple pour les déterminants des grandes matrices, et de nombreux programmeurs informatiques étudient comment faire pour que les ordinateurs trouvent rapidement les grands déterminants.

Propriétés des déterminants

Il y a trois règles que tous les déterminants suivent. Il s'agit des suivantes :

• Le déterminant d'une matrice d'identité est 1
• Si deux lignes ou deux colonnes de la matrice sont échangées, alors le déterminant est multiplié par -1. Les mathématiciens appellent cela l'alternance.
• Si tous les nombres d'une ligne ou d'une colonne sont multipliés par un autre nombre n, alors le déterminant est multiplié par n. De même, si une matrice M a une colonne v, c'est la somme de deux matrices de colonnes v 1 {\displaystyle v_{1}} et v 2 {\displaystyle v_{2}}. alors le déterminant de M est la somme des déterminants de M avec v 1 {\displaystyle v_{1}} au lieu de v et M avec v 2 {\displaystyle v_{2}} au lieu de v. Ces deux conditions sont appelées multi-linéarité.

• Algèbre linéaire
• Algèbre linéaire numérique