Raisonnement par récurrence
L'induction mathématique est une façon particulière de prouver une vérité mathématique. Elle peut être utilisée pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres naturels (tous les nombres entiers positifs). L'idée est que
- Quelque chose est vrai pour le premier cas
- Il en va toujours de même pour le cas suivant
puis
- La même chose est vraie pour chaque cas
Dans le langage prudent des mathématiques :
- Préciser que la preuve sera apportée par induction sur n {\displaystyle n}
. ( n {\displaystyle n} est la variable d'induction.) - Démontrer que l'affirmation est vraie lorsque n {\displaystyle n} est égal à 1.
- Supposons que l'énoncé soit vrai pour tout nombre naturel n {\displaystyle n} . (C'est ce qu'on appelle l'étape d'induction).
- Montrez ensuite que la déclaration est vraie pour le nombre suivant, n + 1 {\style d'affichage n+1}
.
Parce que c'est vrai pour 1, alors c'est vrai pour 1+1 (=2, par l'étape d'induction), alors c'est vrai pour 2+1 (=3), alors c'est vrai pour 3+1 (=4), et ainsi de suite.
Un exemple de preuve par induction :
Prouvez que pour tous les nombres naturels n :
1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+.... +(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}
Preuve :
Premièrement, la déclaration peut être écrite : pour tous les nombres naturels n
2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}
Par induction sur n,
Premièrement, pour n=1 :
2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)}
,
C'est donc vrai.
Ensuite, supposons que pour certains n=n0, l'affirmation est vraie. C'est-à-dire, :
2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}
Puis pour n=n0+1 :
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{{n_{0}}+1}k}
peut être réécrite
2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}
Puisque 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}
La preuve est donc correcte.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que l'induction mathématique ?
R : L'induction mathématique est une façon particulière de prouver une vérité mathématique qui peut être utilisée pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres naturels ou positifs à partir d'un certain point.
Q : Comment se déroule la preuve par induction ?
R : La preuve par induction procède généralement en indiquant que la preuve sera faite sur n, en montrant que l'affirmation est vraie lorsque n vaut 1, en supposant que l'affirmation est vraie pour tout entier naturel n, puis en montrant qu'elle est vraie pour le nombre suivant (n+1).
Q : Qu'est-ce que cela signifie de supposer quelque chose dans une étape inductive ?
R : Supposer quelque chose dans une étape inductive signifie l'accepter comme vrai sans fournir de preuve ou d'évidence. Elle sert de point de départ à des recherches plus approfondies.
Q : Quels types de nombres sont utilisés dans l'induction mathématique ?
R : L'induction mathématique utilise généralement les nombres naturels ou les nombres positifs à partir d'un certain point.
Q : Comment montrer que quelque chose est vrai pour le nombre suivant (n+1) ?
R : Pour montrer que quelque chose est vrai pour le nombre suivant (n+1), vous devez d'abord prouver que c'est vrai lorsque n=1, puis utiliser votre hypothèse de l'étape d'induction pour montrer que c'est également vrai pour n+1.
