Raisonnement par récurrence

Auteur: Leandro Alegsa Date de création: 9 mai 2021

L'induction mathématique est une façon particulière de prouver une vérité mathématique. Elle peut être utilisée pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres naturels (tous les nombres entiers positifs). L'idée est que

puis

Dans le langage prudent des mathématiques :

Parce que c'est vrai pour 1, alors c'est vrai pour 1+1 (=2, par l'étape d'induction), alors c'est vrai pour 2+1 (=3), alors c'est vrai pour 3+1 (=4), et ainsi de suite.

Un exemple de preuve par induction :

Prouvez que pour tous les nombres naturels n :

Preuve :

Premièrement, la déclaration peut être écrite : pour tous les nombres naturels n

Par induction sur n,

Premièrement, pour n=1 :

C'est donc vrai.

Ensuite, supposons que pour certains n=n0, l'affirmation est vraie. C'est-à-dire, :

Puis pour n=n0+1 :

peut être réécrite

Puisque 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

La preuve est donc correcte.

Preuves similaires

L'induction mathématique est souvent indiquée avec la valeur de départ 0 (plutôt que 1). En fait, elle fonctionnera tout aussi bien avec diverses valeurs de départ. Voici un exemple où la valeur de départ est 3. La somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés est de ( n - 2 ) 180 $(n-2)180$ degrés.

La valeur initiale est de 3, et les angles intérieurs d'un triangle sont de ( 3 - 2 ) 180 $(3-2)180$ degrés. Supposons que les angles intérieurs d'un polygone à n côtés soient de (n - 2) 180 $(n-2)180$ degrés. Ajoutez un triangle qui fait que la figure est un polygone à n+1 côtés $n+1$ -et qui augmente le nombre d'angles de 180 degrés (n - 2) 180 + 180 = (n + 1 - 2) 180 $(n-2)180+180=(n+1-2)180$ degrés (style d'affichage (n-2) 180+180=(n+1-2) 180}. Prouvé.

Il existe un grand nombre d'objets mathématiques pour lesquels la preuve par induction mathématique fonctionne. Le terme technique est un ensemble bien ordonné.

Définition inductive

La même idée peut servir à définir, mais aussi à prouver.

Définir le cousin au degré n

Un $1$ cousin au 1 er degré est l'enfant d'un frère ou d'une sœur d'un parent
Un cousin au n+1 $n+1$ ème degré est l'enfant du cousin au n ème degré d'un parent.

Il existe un ensemble d'axiomes pour l'arithmétique des nombres naturels qui est basé sur l'induction mathématique. C'est ce qu'on appelle les "axiomes de Peano". Les symboles indéfinis sont | et =. Les axiomes sont

| est un nombre naturel
Si n est un nombre naturel, alors n $n|$ | est un nombre naturel
Si n | = m |, $n|=m|$ alors n = m $n=m$

On peut alors définir les opérations d'addition et de multiplication, etc. par induction mathématique. Par exemple, on peut définir les opérations d'addition et de multiplication

m + | = m | {\displaystyle m+|=m|} $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|} $m+n|=(m+n)|$

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que l'induction mathématique ?

R : L'induction mathématique est une façon particulière de prouver une vérité mathématique qui peut être utilisée pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres naturels ou positifs à partir d'un certain point.

Q : Comment se déroule la preuve par induction ?

R : La preuve par induction procède généralement en indiquant que la preuve sera faite sur n, en montrant que l'affirmation est vraie lorsque n vaut 1, en supposant que l'affirmation est vraie pour tout entier naturel n, puis en montrant qu'elle est vraie pour le nombre suivant (n+1).

Q : Qu'est-ce que cela signifie de supposer quelque chose dans une étape inductive ?

R : Supposer quelque chose dans une étape inductive signifie l'accepter comme vrai sans fournir de preuve ou d'évidence. Elle sert de point de départ à des recherches plus approfondies.

Q : Quels types de nombres sont utilisés dans l'induction mathématique ?

R : L'induction mathématique utilise généralement les nombres naturels ou les nombres positifs à partir d'un certain point.

Q : Comment montrer que quelque chose est vrai pour le nombre suivant (n+1) ?

R : Pour montrer que quelque chose est vrai pour le nombre suivant (n+1), vous devez d'abord prouver que c'est vrai lorsque n=1, puis utiliser votre hypothèse de l'étape d'induction pour montrer que c'est également vrai pour n+1.