Analyse (mathématiques)

L'analyse mathématique fait partie des mathématiques. Elle est souvent réduite à l'analyse. Elle porte sur des fonctions, des séquences et des séries. Celles-ci ont des propriétés et des caractéristiques utiles qui peuvent être utilisées en ingénierie. L'analyse mathématique concerne les fonctions continues, le calcul différentiel et l'intégration.

Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton ont développé la plupart des bases de l'analyse mathématique.

Les parties de l'analyse mathématique

Limites

Les limites sont un exemple d'analyse mathématique. Les limites sont utilisées pour voir ce qui se passe très près des choses. Les limites peuvent également être utilisées pour voir ce qui se passe lorsque les choses deviennent très grandes. Par exemple, 1 n n' ${\frac {1}{n}}$ est jamais égal à zéro, mais lorsque n devient plus grand, 1 n se ${\frac {1}{n}}$ rapproche de zéro. La limite de 1 n de style d' ${\frac {1}{n}}$ affichage lorsque n augmente est zéro. On dit généralement que "la limite de 1 n de style d'affichage lorsque ${\frac {1}{n}}$ n va à l'infini est égale à zéro". Il s'écrit lim n → ∞ 1 n = 0 {displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

L'équivalent serait 2 × n (style d'affichage) ${2}\times {n}$ . Lorsque le style d'affichage ${n}$ n augmente, la limite va à l'infini. Il s'écrit lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Le théorème fondamental de l'algèbre peut être prouvé à partir de quelques résultats de base en analyse complexe. Il dit que chaque polynôme f ( x ) {\style d'affichage f(x)} f(x) avec des coefficients réels ou complexes a une racine complexe. Une racine est un nombre x qui donne une solution f (x) = 0 (style d'affichage f(x)=0) $f(x)=0$ . Certaines de ces racines peuvent être identiques.

Calcul différentiel

La fonction f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} $f(x)={m}{x}+{c}$ est une ligne. Le style d'affichage m {m}} ${m}$ indique la pente de la fonction et le style d'affichage c {c}} ${c}$ indique la position de la fonction en ordonnée. Avec deux points sur la ligne, il est possible de calculer la pente m ${m}$ avec :

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Une fonction de la forme f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ qui n'est pas linéaire, ne peut pas être calculé comme ci-dessus. Il n'est possible de calculer la pente qu'en utilisant des tangentes et des sécantes. La sécante passe par deux points et lorsque les deux points se rapprochent, elle se transforme en tangente.

La nouvelle formule est la suivante : m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

C'est ce qu'on appelle le quotient de différence. L'affichage de x 1 $x_{1}$ se rapproche maintenant de x 0 $x_{0}$ . Cela peut être exprimé par la formule suivante :

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\flèche droite x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

Le résultat est appelé dérivée ou pente de f au point x {\displaystyle {x}}. ${x}$ .

Intégration

L'intégration concerne le calcul des surfaces.

Le symbole ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

se lit comme "l'intégrale de f, de a à b" et se réfère à l'aire comprise entre l'axe des x, le graphique de la fonction f et les lignes x=a et x=b. L'affichage a est le point où la zone doit commencer et l'affichage b celui $b$ où la zone se termine.

Pages connexes

Certains sujets d'analyse le sont :

Calcul
Une analyse complexe
Analyse fonctionnelle
Analyse numérique

Voici quelques idées utiles en matière d'analyse :

Série
Séquences
Produits dérivés
Intégrales

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que l'analyse mathématique ?

R : L'analyse mathématique est une partie des mathématiques qui étudie les fonctions, les séquences et les séries. Elle fournit une base logique rigoureuse au calcul qui étudie les fonctions continues, la différentiation et l'intégration.

Q : Quels sont les principaux sous-domaines de l'analyse mathématique ?

R : Parmi les principaux sous-domaines de l'analyse mathématique figurent l'analyse réelle, l'analyse complexe, l'équation différentielle et l'analyse fonctionnelle.

Q : Comment l'analyse mathématique peut-elle être utilisée en ingénierie ?

R : L'analyse mathématique peut être utilisée en ingénierie en examinant les propriétés et caractéristiques utiles des fonctions, séquences et séries.

Q : Qui a développé la plupart des bases de l'analyse mathématique ?

R : Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton ont développé la plupart des bases de l'analyse mathématique.

Q : Quel était l'ancien nom de l'analyse mathématique ?

R : L'ancien nom de l'analyse mathématique était "infinitésimal" ou "calculus".

Q : Quel est le rapport entre le calcul et l'analyse mathématique ?

R : Le calcul étudie les fonctions continues, la différenciation et l'intégration qui sont toutes liées au domaine des mathématiques connu sous le nom d'analyse mathématique.