Les deux quantificateurs les plus utilisés sont le quantificateur universel et le quantificateur d'existence.
Le quantificateur universel est utilisé pour affirmer que pour les éléments d'un ensemble, les éléments correspondent tous à certains critères. Habituellement, cette déclaration "pour tous les éléments" est raccourcie en un "A" retourné, qui est "∀".
Le quantificateur existentiel est utilisé pour affirmer que pour les éléments d'un ensemble, il existe au moins un élément qui correspond à certains critères. Habituellement, cette déclaration "il existe un élément" est raccourcie par un "E" renversé, qui est "∃".
Nous pouvons réécrire un exemple de déclaration en anglais avec des symboles, des prédicats représentant des critères et des quantificateurs. L'exemple est "Chacun des amis de Peter aime soit danser, soit aller à la plage". Soit X l'ensemble de tous les amis de Peter. Soit P(x) le prédicat "x aime danser". Soit Q(x) le prédicat "x aime aller à la plage". Nous pouvons réécrire l'exemple en utilisant la notation formelle suivante : ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}
. La déclaration peut être lue comme suit : "pour chaque x qui est membre de X, P s'applique à x ou Q s'applique à x".
Il existe d'autres façons d'utiliser les quantificateurs dans le langage formel. Chacun des énoncés suivants dit la même chose que ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \existe {x}{\in }X,P(x)}
:
- ∃ x P {\displaystyle \existe {x}P}
- ( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P}
- ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
- ∃ x ⋅ P {\displaystyle \existe x\ \cdot \ P}
- ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)}
- ∃ x ∈ X P {\displaystyle \existe {x}{\in }X\,P}
- ∃ x : X P {\displaystyle \existe \,x{:}X\,P}
Il existe quelques autres façons de représenter le quantificateur universel :
- ( x ) P {\displaystyle (x)\,P}
- ⋀ x P {\displaystyle \bigwedge _{x}P}
Plusieurs déclarations ci-dessus incluent explicitement X, l'ensemble des éléments auxquels le quantificateur s'applique. Cet ensemble d'éléments est également connu sous le nom de gamme de quantification, ou l'univers du discours. Certaines des déclarations ci-dessus ne comprennent pas un tel ensemble. Dans ce cas, l'ensemble devra être spécifié avant la déclaration. Par exemple, "x est une pomme" doit être indiqué avant ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)}
. Dans ce cas, nous déclarons qu'au moins une pomme correspond au prédicat P.
L'utilisation de quantificateurs ne nécessite pas formellement l'utilisation du symbole x. Le symbole x a été utilisé tout au long de cet article, mais n'importe quel symbole peut être utilisé, comme y. Veillez à ne pas faire référence à deux choses différentes avec le même symbole lorsque vous choisissez des symboles.
![{\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}](https://www.alegsaonline.com/image/43cd6e63f05602d0774652b6daac21303199aa9b.svg)