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Échelle logarithmique

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

Une échelle logarithmique est une échelle utilisée lorsqu'il existe une large gamme de quantités. Parmi les utilisations courantes, citons la force des tremblements de terre, l'intensité sonore, l'intensité lumineuse et le pH des solutions.

Elle est basée sur des ordres de grandeur, plutôt que sur une échelle linéaire standard. La valeur de chaque marque sur l'échelle est la valeur à la marque précédente multipliée par une constante.

Les échelles logarithmiques sont également utilisées dans les règles à calcul pour multiplier ou diviser des nombres en ajoutant ou en soustrayant des longueurs sur les échelles.

L'échelle logarithmique peut être utile lorsque les données couvrent une large gamme de valeurs - le logarithme réduit cette gamme à une plage plus gérable.

Certains de nos sens fonctionnent de manière logarithmique (en multipliant la puissance d'entrée réelle, on ajoute une constante à la puissance du signal perçu, voir : la loi de Stevens). Cela rend les échelles logarithmiques particulièrement appropriées pour ces quantités d'entrée. En particulier, notre sens de l'ouïe perçoit des multiples égaux de fréquences comme des différences de hauteur de son égales.

Sur la plupart des échelles logarithmiques, les petits multiples (ou ratios) de la quantité sous-jacente correspondent à de petites valeurs (éventuellement négatives) de la mesure logarithmique.

Une échelle logarithmique permet de comparer facilement des valeurs qui couvrent une large gamme, comme dans cette carte

Les deux échelles logarithmiques d'une règle à calcul

Exemples

Des exemples bien connus de ces échelles sont :

Échelle de magnitude de Richter et échelle de magnitude instantanée (MMS) pour la force des tremblements de terre et le mouvement de la terre.
bel et décibels et neper pour la puissance acoustique (volume sonore) et la puissance électrique ;
le comptage des diaphragmes pour les rapports d'exposition photographique ;
classant les faibles probabilités par le nombre de "neuf" dans l'expansion décimale de la probabilité qu'elles ne se produisent pas : par exemple, un système qui échouera avec une probabilité de 10-5 est fiable à 99,999 % : "cinq neuf".
L'entropie en thermodynamique.
L'information dans la théorie de l'information.
Courbes de distribution de la taille des particules du sol

Certaines échelles logarithmiques ont été conçues de telle sorte que les grandes valeurs (ou ratios) de la quantité sous-jacente correspondent aux petites valeurs de la mesure logarithmique. Voici quelques exemples de ces échelles :

pH pour l'acidité ;
échelle de magnitude stellaire pour la luminosité des étoiles ;

Une échelle logarithmique est également une échelle graphique sur un ou deux côtés d'un graphique où un nombre x est imprimé à une distance c-log(x) du point marqué du nombre 1. Une règle à calcul comporte des échelles logarithmiques, et les nomogrammes utilisent souvent des échelles logarithmiques. Sur une échelle logarithmique, une différence égale en ordre de grandeur est représentée par une distance égale. La moyenne géométrique de deux nombres se situe à mi-chemin entre les nombres.

Le papier graphique logarithmique, avant l'avènement de l'infographie, était un outil scientifique de base. Les graphiques sur papier avec une échelle logarithmique peuvent faire apparaître des lois exponentielles, et sur papier logarithmique des lois de puissance, sous forme de lignes droites (voir graphique semilog, graphique logarithmique).

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'une échelle logarithmique ?

R : Une échelle logarithmique est une échelle utilisée lorsqu'il y a un large éventail de quantités.

Q : Quels sont les exemples de choses qui peuvent être mesurées sur une échelle logarithmique ?

R : La force des tremblements de terre, l'intensité sonore, l'intensité lumineuse, la vitesse de propagation des épidémies et le pH des solutions peuvent tous être mesurés sur une échelle logarithmique.

Q : En quoi une échelle logarithmique diffère-t-elle d'une échelle linéaire standard ?

R : Une échelle logarithmique est basée sur des ordres de grandeur, plutôt que sur une échelle linéaire standard. La valeur de chaque point de l'échelle est la valeur du point précédent multipliée par une constante.

Q : Quel est l'avantage d'utiliser une échelle logarithmique ?

R : L'échelle logarithmique permet de réduire une large gamme de valeurs à une gamme plus gérable, ce qui peut être utile lorsque vous traitez des données qui couvrent une large gamme de valeurs.

Q : Qu'est-ce que la loi de puissance de Stevens et quel est son rapport avec les échelles logarithmiques ?

R : La loi de puissance de Stevens décrit comment certains de nos sens fonctionnent de manière logarithmique, où la multiplication de la force d'entrée réelle ajoute une constante à la force du signal perçu. Les échelles logarithmiques pour ces quantités d'entrée sont donc particulièrement appropriées.

Q : Pourquoi une échelle logarithmique est-elle particulièrement utile pour mesurer l'intensité sonore ?

R : Notre sens de l'ouïe perçoit des multiples égaux de fréquences comme des différences égales de hauteur, de sorte qu'une échelle logarithmique peut représenter avec précision cette relation entre la fréquence du son et l'intensité sonore perçue.

Q : Quelle est la relation entre les petits multiples de la quantité sous-jacente et la mesure logarithmique sur la plupart des échelles logarithmiques ?

R : Sur la plupart des échelles logarithmiques, les petits multiples (ou rapports) de la quantité sous-jacente correspondent à de petites valeurs (éventuellement négatives) de la mesure logarithmique.