Loi des sinus
La règle des sinus, ou loi des sinus, est un théorème en mathématiques. Il dit que, si vous avez un triangle comme celui de l'image, l'équation ci-dessous est vraie.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\ ! }
C'est une autre version, qui est également vraie.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\ ! }
D est égal au diamètre de la circonférence du triangle.
La loi des sinus est utilisée pour trouver les côtés restants d'un triangle lorsque deux angles et un côté sont connus. C'est ce qu'on appelle la triangulation. Toutefois, ce calcul peut comporter une erreur numérique si un angle est proche de 90 degrés. La loi des sinus peut également être utilisée lorsque deux côtés et un des angles non compris entre les deux côtés sont connus. Dans certains de ces cas, la formule donne deux valeurs possibles pour l'angle inclus. C'est ce qu'on appelle un cas ambigu.
La loi des sinus est l'une des deux équations trigonométriques utilisées pour trouver les longueurs et les angles dans les triangles scalènes. L'autre est la loi des cosinus.
Un triangle étiqueté avec les lettres nécessaires à cette explication. A, B et C sont les angles. a est le côté opposé à A . b est le côté opposé à B . c est le côté opposé à C
Preuve
L'aire T {\displaystyle T}
de tout triangle peut s'écrire comme la moitié de sa base multipliée par sa hauteur (tirée du sommet et non de la base). Selon le côté choisi comme base, l'aire peut être donnée par
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. }
En multipliant ces chiffres par 2 / a b c {\displaystyle 2/abc},
on obtient
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\disdisplaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {sin A}{a}}={\frac {sin B}{b}}={\frac {sin C}{c}}\,. }
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une loi bleue ?
R : La loi du sinus, également connue sous le nom de loi du sinus, est un théorème mathématique qui dit que si vous avez un triangle comme celui de l'image, l'équation est vraie.
Q : Que dit cette équation ?
R : Cette équation dit que le rapport entre la longueur de chaque côté et le sinus de son angle opposé est égal.
Q : Comment l'utilise-t-on ?
R : La loi des sinus peut être utilisée pour trouver les côtés restants d'un triangle lorsque vous connaissez deux angles et un côté. Elle peut également être utilisée lorsque vous connaissez deux côtés et un angle que les deux côtés n'enferment pas.
Q : Que se passe-t-il dans le cas ambigu ?
R : Dans certains cas, la formule donne deux valeurs possibles pour l'angle inclus. C'est ce qu'on appelle le cas ambigu.
Q : Comment se compare-t-elle aux autres équations trigonométriques ?
R : La loi des sinus est l'une des deux équations trigonométriques utilisées pour trouver les longueurs et les angles dans les triangles scalènes. L'autre est la loi des cosinus.
Q : Quelle est la valeur de D ? R : D est égal au diamètre du périmètre d'un triangle.
