Loi des grands nombres

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

La loi des grands nombres (LLN) est un théorème issu de la statistique. Considérons un processus dans lequel des résultats aléatoires se produisent. Par exemple, une variable aléatoire est observée de manière répétée. La moyenne des valeurs observées sera alors stable, à long terme. Cela signifie qu'à long terme, la moyenne des valeurs observées se rapprochera de plus en plus de la valeur attendue.

En lançant les dés, les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont des résultats possibles. Ils ont tous la même probabilité. La moyenne de population (ou "valeur attendue") des résultats est :

Le graphique suivant montre les résultats d'une expérience de lancement d'un dé. Dans cette expérience, on peut voir que la moyenne des jets de dé varie énormément au début. Comme prévu par la LLN, la moyenne se stabilise autour de la valeur attendue de 3,5 à mesure que le nombre d'observations devient important.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Histoire

Jacob Bernoulli a d'abord décrit le LLN. Il dit que c'était si simple que même l'homme le plus stupide sait instinctivement que c'est vrai. Malgré cela, il lui a fallu plus de 20 ans pour mettre au point une bonne preuve mathématique. Une fois qu'il l'a trouvée, il a publié la preuve dans Ars Conjectandi (L'art de la conjecture) en 1713. Il l'a appelée son "Théorème d'or". En 1835, S.D. Poisson l'a décrit plus en détail sous le nom de "La loi des grands nombres". Par la suite, elle a été connue sous les deux noms, mais la "loi des grands nombres" est la plus fréquemment utilisée.

D'autres mathématiciens ont également contribué à améliorer la loi. Il s'agit notamment de Tchebychev, Markov, Borel, Cantelli et Kolmogorov. Après ces études, il existe aujourd'hui deux formes différentes de droit : L'une est appelée la loi "faible" et l'autre la loi "forte". Ces formes ne décrivent pas des lois différentes. Elles ont différentes façons de décrire la convergence de la probabilité observée ou mesurée avec la probabilité réelle. La forme forte de la loi implique la forme faible.

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?

R : La loi des grands nombres est un théorème statistique qui stipule que si un processus aléatoire est observé à plusieurs reprises, la moyenne des valeurs observées sera stable à long terme.

Q : Que signifie la loi des grands nombres ?

R : La loi des grands nombres signifie qu'à mesure que le nombre d'observations augmente, la moyenne des valeurs observées se rapproche de plus en plus de la valeur attendue.

Q : Qu'est-ce qu'une valeur attendue ?

R : Une valeur attendue est la moyenne de la population des résultats d'un processus aléatoire.

Q : Quelle est la valeur attendue d'un lancer de dé ?

R : La valeur attendue d'un lancer de dé est la somme des résultats possibles divisée par le nombre de résultats : (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

Q : Que montre le graphique du texte par rapport à la loi des grands nombres ?

R : Le graphique montre que la moyenne des jets de dé varie fortement au début, mais comme le prédit la loi des grands nombres, la moyenne se stabilise autour de la valeur attendue de 3,5 au fur et à mesure que le nombre d'observations devient important.

Q : Comment la loi des grands nombres s'applique-t-elle au lancer de dés ?

R : La loi des grands nombres s'applique au lancer de dés car, à mesure que le nombre de lancers augmente, la moyenne des lancers se rapproche de plus en plus de la valeur attendue de 3,5.

Q : Pourquoi la loi des grands nombres est-elle importante en statistique ?

R : La loi des grands nombres est importante en statistique parce qu'elle fournit une base théorique à l'idée que les données ont tendance à s'équilibrer sur un grand nombre d'observations. Elle est à la base de nombreuses méthodes statistiques, telles que les intervalles de confiance et les tests d'hypothèse.