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Intégration (mathématiques)

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

En calcul, une intégrale est l'espace sous un graphe d'une équation (parfois appelée "l'aire sous une courbe"). Une intégrale est l'inverse d'une dérivée et est l'opposé du calcul différentiel. Une dérivée est la pente (ou "pente"), comme le taux de variation, d'une courbe. Le mot "intégrale" peut également être utilisé comme adjectif signifiant "liée à des entiers".

Le symbole de l'intégration, en calcul, est : ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ comme une grande lettre "S". Ce symbole a été utilisé pour la première fois par Gottfried Wilhelm Leibniz, qui l'a utilisé comme un "ſ" stylisé (pour summa, latin pour sum) pour signifier la sommation de la zone couverte par une équation, telle que y = f(x).

Les intégrales et les dérivées font partie d'une branche des mathématiques appelée calcul. Le lien entre ces deux branches est très important et est appelé le théorème fondamental du calcul. Le théorème dit qu'une intégrale peut être inversée par une dérivée, de la même manière qu'une addition peut être inversée par une soustraction.

L'intégration aide lorsqu'on essaie de multiplier les unités dans un problème. Par exemple, si un problème de taux, ( distance-temps )/style d'affichage \gauche({\frac{texte{distance}}{\texte{temps}}}\droite)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ Si la question de l'intégration, qui est une question de distance, nécessite une réponse à distance, une solution consiste à intégrer dans le temps. Cela signifie qu'il faut multiplier dans le temps pour annuler le temps en ( distance temps ) × temps style d'affichage \left({\frac{distance}}{\texte{temps}}}\right)\times{text{temps}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Cela se fait en additionnant de petites tranches du graphique des taux. La largeur des tranches est proche de zéro, mais en les additionnant pour toujours, on obtient un tout. C'est ce qu'on appelle une somme de Riemann.

En additionnant ces tranches, on obtient l'équation dont la première est la dérivée. Les intégrales sont comme un moyen d'additionner de nombreuses petites choses à la main. C'est comme la sommation, qui consiste à additionner 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4.... +n} $1+2+3+4....+n$ . La différence avec l'intégration est que nous devons également ajouter toutes les décimales et les fractions entre elles.

Un autre moment où l'intégration est utile est celui où l'on trouve le volume d'un solide. Elle permet d'ajouter des tranches bidimensionnelles (sans largeur) du solide ensemble pour toujours jusqu'à ce qu'il y ait une largeur. Cela signifie que l'objet a maintenant trois dimensions : les deux dimensions d'origine et une largeur. Cela donne le volume de l'objet tridimensionnel décrit.

Méthodes d'intégration

Antidérivé

Selon le théorème fondamental du calcul, l'intégrale est l'antidérivée.

Si l'on prend la fonction 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ par exemple, et l'anti-différencier, on peut dire qu'une intégrale de 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ est x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Nous disons une intégrale, pas l'intégrale, parce que l'antidérivé d'une fonction n'est pas unique. Par exemple, x 2 + 17 {\style d'affichage x^{2}+17} se différencie également de $x^{2}+17$ 2 x {\style d'affichage 2x} $2x$ . C'est pourquoi, lorsque l'on prend l'antidérivée, il faut ajouter une constante C. C'est ce qu'on appelle une intégrale indéfinie. En effet, lorsque l'on trouve la dérivée d'une fonction, les constantes sont égales à 0, comme dans la fonction

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Notez le 0 : nous ne pouvons pas le trouver si nous avons seulement la dérivée, donc l'intégrale est

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Équations simples

Une équation simple telle que y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ peut être intégrée par rapport à x en utilisant la technique suivante. Pour intégrer, on ajoute 1 à la puissance à laquelle x est porté, puis on divise x par la valeur de cette nouvelle puissance. Par conséquent, l'intégration d'une équation normale suit cette règle : ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Le d x {style dx} $dx$ à la fin est ce qui montre que nous nous intégrons par rapport à x, c'est-à-dire que x change. On peut voir que c'est l'inverse de la différenciation. Cependant, il y a une constante, C, qui s'ajoute lorsque vous intégrez. C'est ce qu'on appelle la constante d'intégration. C'est nécessaire parce que la différenciation d'un entier donne zéro, donc l'intégration de zéro (qui peut être placé à la fin de n'importe quel entier) produit un entier, C. La valeur de cet entier serait trouvée en utilisant des conditions données.

Les équations comportant plus d'un terme sont simplement intégrées en intégrant chaque terme individuel :

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Intégration impliquant l'e et ln

Il existe certaines règles pour l'intégration en utilisant e et le logarithme naturel. Le plus important est que e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ est l'intégrale de lui-même (avec l'ajout d'une constante d'intégration) : ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Le logarithme naturel, ln, est utile pour intégrer des équations de type 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Celles-ci ne peuvent pas être intégrées à l'aide de la formule ci-dessus (ajouter un à la puissance, diviser par la puissance), car l'ajout d'un à la puissance produit 0, et une division par 0 n'est pas possible. Au lieu de cela, l'intégrale de 1 / x $1/x$ est ln x $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Sous une forme plus générale : ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Les deux barres verticales indiquent une valeur absolue ; le signe (positif ou négatif) de f ( x ) f(x) est ignoré. En effet, le logarithme naturel des nombres négatifs n'a pas de valeur.

Propriétés

Somme des fonctions

L'intégrale d'une somme de fonctions est la somme de l'intégrale de chaque fonction, c'est-à-dire,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limites _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

La preuve en est simple : La définition d'une intégrale est une limite de sommes. Ainsi

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limites _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Notez que les deux intégrales ont les mêmes limites.

Constantes dans l'intégration

Lorsqu'une constante est intégrée à une fonction, la constante peut être retirée. De plus, lorsqu'une constante c n'est pas accompagnée d'une fonction, sa valeur est c * x. C'est-à-dire,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ et

Cela ne peut se faire qu'avec une constante.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

La preuve est encore une fois apportée par la définition d'une intégrale.

Autres

Si a, b et c sont dans l'ordre (c'est-à-dire l'un après l'autre sur l'axe des x), l'intégrale de f(x) du point a au point b plus l'intégrale de f(x) du point b à c est égale à l'intégrale du point a à c. C'est-à-dire,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limites _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limites _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ si elles sont en ordre. (Cela vaut également lorsque a, b, c ne sont pas en ordre si nous définissons ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limites _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limites _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Ceci suit le théorème fondamental du calcul (FTC) : F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limites _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Là encore, en suivant la FTC : F(b) - F(a) = - [ F(a) - F(b) ] [style d'affichage F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce qu'une intégrale ?

R : Une intégrale est l'espace sous le graphique d'une équation, également appelé "l'aire sous une courbe". C'est l'inverse d'une dérivée et fait partie d'une branche des mathématiques appelée le calcul.

Q : A quoi ressemble le symbole de l'intégration ?

R : Le symbole de l'intégration dans le calcul ressemble à une grande lettre "S" : ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Q : Comment les intégrales sont-elles liées aux dérivées ?

R : Les intégrales et les dérivées sont liées par le théorème fondamental du calcul qui stipule qu'une intégrale peut être inversée par une dérivée, de la même façon qu'une addition peut être inversée par une soustraction.

Q : Quand peut-on utiliser l'intégration ?

R : L'intégration peut être utilisée lorsqu'on essaie de multiplier les unités dans un problème ou lorsqu'on cherche le volume d'un solide. Elle permet d'additionner des tranches bidimensionnelles jusqu'à ce qu'il y ait une largeur, donnant à l'objet trois dimensions et son volume.

Q : En quoi l'intégration est-elle similaire à la sommation ?

R : L'intégration est similaire à la sommation en ce sens qu'elle additionne de nombreuses petites choses, mais avec l'intégration, nous devons également ajouter toutes les décimales et les fractions.

Q : Que signifie une somme de Riemann ?

R : Une somme de Riemann fait référence à l'addition de petites tranches du graphique du taux jusqu'à ce qu'elles s'additionnent pour former une équation entière.