Injection (mathématiques)

Propriétés de base

Officiellement :

f : A → B {\displaystyle f :La flèche droite B est une fonction d'injection si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} ou équivalent

f : A → B {\displaystyle f :La flèche droite B} est une fonction injective si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

L'élément a {\displaystyle a} est appelé une pré-image de l'élément b {\displaystyle b} si f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Les injections ont une ou aucune pré-image pour chaque élément b dans B.

Cardinalité

La cardinalité est le nombre d'éléments dans un ensemble. La cardinalité de A={X,Y,Z,W} est de 4. On écrit #A=4.

• Si la cardinalité du codomaine est inférieure à la cardinalité du domaine, la fonction ne peut pas être une injection. (Par exemple, il n'y a pas moyen de faire correspondre 6 éléments à 5 éléments sans un doublon).

Exemples

Fonctions élémentaires

Soit f(x):ℝ→ℝ une fonction à valeur réelle y=f(x) d'un argument à valeur réelle x. (Cela signifie que l'entrée et la sortie sont toutes deux des nombres réels).

• Signification graphique : La fonction f est une injection si chaque ligne horizontale coupe le graphique de f en un point au maximum.
• Signification algébrique : La fonction f est une injection si f(xo)=f(x1) signifie xo=x1.

Exemple : La fonction linéaire d'une ligne inclinée est de 1-1. C'est-à-dire, y=ax+b où a≠0 est une injection. (C'est aussi une surjection et donc une bijection).

Preuve : Soit xo et x1 sont des nombres réels. Supposons que la ligne fasse correspondre ces deux valeurs x à la même valeur y. Cela signifie a-xo+b=a-x1+b. Soustrayez b des deux côtés. On obtient a-xo=a-x1. Maintenant, divisez les deux côtés par a (souvenez-vous de a≠0). Nous obtenons xo=x1. Nous avons donc prouvé la définition formelle et la fonction y=ax+b où a≠0 est une injection.

Exemple : La fonction polynomiale du troisième degré : f(x)=x3 est une injection. Cependant, la fonction polynomiale du troisième degré : f(x)=x3 -3x n'est pas une injection.

Discussion 1 : Toute ligne horizontale croise le graphique de

f(x)=x3 exactement une fois. (Il s'agit également d'une surestimation).

Discussion 2. Toute ligne horizontale entre y=-2 et y=2 coupe le graphique en trois points, cette fonction n'est donc pas une injection. (Cependant, il s'agit d'une surjection).

Exemple : La fonction quadratique f(x) = x2 n'est pas une injection.

Discussion : Toute ligne horizontale y=c où c>0 coupe le graphique en deux points. Cette fonction n'est donc pas une injection. (De même, ce n'est pas une surjection).

Note : On peut transformer une fonction non injective en une fonction injective en éliminant une partie du domaine. C'est ce que nous appelons la restriction du domaine. Par exemple, limitez le domaine de f(x)=x² aux nombres non négatifs (nombres positifs et zéro). Définissez

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x) :[0,+\infty )\flèche droite \mathbf {R} } où f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Cette fonction est maintenant une injection. (Voir aussi restriction d'une fonction).

Exemple : La fonction exponentielle f(x) = 10x est une injection. (Toutefois, il ne s'agit pas d'une surjection).

Discussion : Toute ligne horizontale coupe le graphique en un point au maximum. Les lignes horizontales y=c où c>0 le coupent en un point exactement. Les lignes horizontales y=c où c≤0 ne coupent le graphique en aucun point.

Note : Le fait qu'une fonction exponentielle soit injective peut être utilisé dans les calculs.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Exemple : 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5}

Autres exemples

Exemple : La fonction logarithmique base 10 f(x) :(0,+∞)→ℝ définie par f(x)=log(x) ou y=log10(x) est une injection (et une surjection). (C'est la fonction inverse de 10x.)

Exemple : La fonction f:ℕ→ℕ qui cartographie chaque nombre naturel n à 2n est une injection. Chaque nombre pair a exactement une pré-image. Chaque nombre impair n'a pas de pré-image.

Pages connexes

• Fonction (mathématiques)
• Fonction subjective
• Fonction bijective