Unité imaginaire
En mathématiques, les unités imaginaires, ou i, sont des nombres qui peuvent être représentés par des équations mais qui se réfèrent à des valeurs qui ne pourraient pas exister physiquement dans la vie réelle. La définition mathématique d'une unité imaginaire est i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
qui a la propriété i × i = i 2 = - 1
La raison pour laquelle j'ai été créé était de répondre à une équation polynomiale, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0}
qui n'a normalement pas de solution puisque la valeur de x 2 {\displaystyle x^{2}} devrait être
égale à -1. Bien que le problème puisse être résolu, la racine carrée de -1 ne pourrait pas être représentée par une quantité physique d'un quelconque objet dans la vie réelle.
Racine carrée de i
On suppose parfois qu'il faut créer un autre nombre pour montrer la racine carrée de i, mais ce n'est pas nécessaire. La racine carrée de i peut s'écrire comme suit : i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
.
Cela peut se traduire par :
| ( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } | = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } |
| = ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } | |
| = 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } | |
| = 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } | |
| = i {\displaystyle =i\ } |
Pouvoirs de i
Les pouvoirs de i suivent un schéma prévisible :
i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i}
i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1}
i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i}
i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1}
i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i}
i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i}
i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}
i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i}
i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1}
Cela peut être illustré par le schéma suivant où n est un entier quelconque :
i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1}
i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i}
i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1}
i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i}
Pages connexes
- Numéro complexe
- Numéro imaginaire
- Nombre réel
- L'identité d'Euler
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que l'unité imaginaire ?
R : L'unité imaginaire est une valeur numérique qui n'existe qu'en dehors des nombres réels et qui est utilisée en algèbre.
Q : Comment utilise-t-on l'unité imaginaire ?
R : Nous multiplions l'unité imaginaire par un nombre réel pour créer un nombre imaginaire.
Q : À quoi servent les nombres imaginaires ?
R : Les nombres imaginaires peuvent être utilisés pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques.
Q : Peut-on représenter un nombre imaginaire avec des objets de la vie réelle ?
R : Non, nous ne pouvons pas représenter un nombre imaginaire avec des objets de la vie réelle.
Q : D'où vient l'unité imaginaire ?
R : L'unité imaginaire provient des mathématiques et de l'algèbre.
Q : L'unité imaginaire fait-elle partie des nombres réels ?
R : Non, elle existe en dehors du domaine des nombres réels.
Q : Comment calcule-t-on un nombre imaginaire ? R : Vous calculez un nombre imaginaire en multipliant un nombre réel par l'unité imaginaire.
