Unité imaginaire
En mathématiques, les unités imaginaires, ou i, sont des nombres qui peuvent être représentés par des équations mais qui se réfèrent à des valeurs qui ne pourraient pas exister physiquement dans la vie réelle. La définition mathématique d'une un…
En mathématiques, les unités imaginaires, ou i, sont des nombres qui peuvent être représentés par des équations mais qui se réfèrent à des valeurs qui ne pourraient pas exister physiquement dans la vie réelle. La définition mathématique d'une unité imaginaire est i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
qui a la propriété i × i = i 2 = - 1
La raison pour laquelle j'ai été créé était de répondre à une équation polynomiale, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0}
qui n'a normalement pas de solution puisque la valeur de x 2 {\displaystyle x^{2}} devrait être
égale à -1. Bien que le problème puisse être résolu, la racine carrée de -1 ne pourrait pas être représentée par une quantité physique d'un quelconque objet dans la vie réelle.
Racine carrée de i
On suppose parfois qu'il faut créer un autre nombre pour montrer la racine carrée de i, mais ce n'est pas nécessaire. La racine carrée de i peut s'écrire comme suit : i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
.
Cela peut se traduire par :
| ( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } | = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } |
| = ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } | |
| = 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } | |
| = 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } | |
| = i {\displaystyle =i\ } |
Pouvoirs de i
Les pouvoirs de i suivent un schéma prévisible :
i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i}
i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1}
i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i}
i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1}
i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i}
i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i}
i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}
i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i}
i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1}
Cela peut être illustré par le schéma suivant où n est un entier quelconque :
i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1}
i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i}
i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1}
i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i}
Pages connexes
- Numéro complexe
- Numéro imaginaire
- Nombre réel
- L'identité d'Euler
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que l'unité imaginaire ?
R : L'unité imaginaire est une valeur numérique qui n'existe qu'en dehors des nombres réels et qui est utilisée en algèbre.
Q : Comment utilise-t-on l'unité imaginaire ?
R : Nous multiplions l'unité imaginaire par un nombre réel pour créer un nombre imaginaire.
Q : À quoi servent les nombres imaginaires ?
R : Les nombres imaginaires peuvent être utilisés pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques.
Q : Peut-on représenter un nombre imaginaire avec des objets de la vie réelle ?
R : Non, nous ne pouvons pas représenter un nombre imaginaire avec des objets de la vie réelle.
Q : D'où vient l'unité imaginaire ?
R : L'unité imaginaire provient des mathématiques et de l'algèbre.
Q : L'unité imaginaire fait-elle partie des nombres réels ?
R : Non, elle existe en dehors du domaine des nombres réels.
Q : Comment calcule-t-on un nombre imaginaire ? R : Vous calculez un nombre imaginaire en multipliant un nombre réel par l'unité imaginaire.
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Auteur
AlegsaOnline.com Unité imaginaire Leandro Alegsa
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