Identité (mathématiques)
Pour les autres sens de ce mot, voir identité.
En mathématiques, le terme "identité" a plusieurs usages importants :
- Une identité est une égalité qui reste vraie même si vous changez toutes les variables qui sont utilisées dans cette égalité.
Une égalité au sens mathématique du terme n'est vraie que dans des conditions plus particulières. Pour cela, le symbole ≡ est parfois utilisé. (Toutefois, cela peut conduire à des malentendus puisque le même symbole peut également être utilisé pour une relation de congruence).
Exemples
Relation avec l'identité
Un exemple courant de la première signification est l'identité trigonométrique
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}
ce qui est vrai pour toutes les valeurs réelles de θ {\displaystyle \theta }
(puisque les nombres réels
R sont le domaine du péché et du cos), par opposition à
cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,}
ce qui n'est vrai que pour les valeurs de θ {\displaystyle \theta } dans un sous-ensemble du domaine.
Élément d'identité
Les concepts d'"identité additive" et d'"identité multiplicative" sont au cœur des axiomes peanos. Le nombre 0 est l'"identité additive" pour les nombres entiers, les nombres réels et les nombres complexes. Pour les nombres réels, pour tous a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}
0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,}
a + 0 = a , [style d'affichage a+0=a,\,}
et
0 + 0 = 0. 0+0=0.\,}
De même, le nombre 1 est l'"identité multiplicative" pour les nombres entiers, les nombres réels et les nombres complexes. Pour les nombres réels, pour tous a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}
1 × a = a , 1 fois a=a,\,}
a × 1 = a , a fois 1=a,\,}
et
1 × 1 = 1. 1 fois 1=1.\,}
Fonction d'identité
Un exemple courant de fonction d'identité est la permutation d'identité, qui envoie chaque élément de l'ensemble { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}
à lui-même.
Comparaison
Ces significations ne sont pas mutuellement exclusives ; par exemple, la permutation d'identité est l'élément d'identité dans l'ensemble des permutations de { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} sous composition.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une identité en mathématiques ?
R : Une identité en mathématiques est une égalité qui reste vraie même si l'on change toutes les variables utilisées dans cette égalité.
Q : Quand une égalité au sens mathématique est-elle seulement vraie ?
R : Une égalité au sens mathématique n'est vraie que dans des conditions plus particulières.
Q : Quel est le symbole utilisé pour une identité ?
R : Le symbole utilisé pour une identité n'est pas spécifié, mais il est probable que le signe égal (=) soit utilisé.
Q : Quel est le symbole utilisé pour une relation de congruence ?
R : Le symbole utilisé pour une relation de congruence est le même que celui utilisé pour une identité, c'est-à-dire ≡.
Q : Combien d'utilisations importantes le terme "identité" a-t-il en mathématiques ?
R : Le terme identité a plusieurs usages importants en mathématiques.
Q : Quelle est la différence entre une identité et une égalité au sens mathématique ?
R : Une identité reste vraie même si l'on change toutes les variables utilisées dans cette égalité, alors qu'une égalité au sens mathématique n'est vraie que dans des conditions plus particulières.
Q : Utilise-t-on le même symbole pour une identité et une relation de congruence ?
R : Oui, le même symbole (≡) peut être utilisé pour une relation d'identité et une relation de congruence.
