Primitive

L'antidifférenciation (également appelée intégration indéfinie) est une chose faite en mathématiques. C'est le contraire de la différenciation.

Les antidérivés peuvent vous renseigner sur la taille d'une manière générale. L'antidifférenciation se fait sur des choses comme les équations. L'antidifférenciation vous donne une chose appelée un antidérivé. Un antidérivé est un autre type d'équation. L'antidifférenciation est comme l'intégration avec mais sans limites. C'est pourquoi elle est appelée indéfinie.

Un antidérivé s'écrit comme ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx}{\displaystyle \int x\ dx}

Une intégration simple

Pour intégrer un affichage de type x n ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}}

  • Ajoutez 1 à la puissance n {\displaystyle n}n Donc, un affichage de x{\displaystyle ax^{n}} n est maintenant un affichage de x n + 1{\displaystyle ax^{n+1}}
  • Divisez tout cela par la nouvelle puissance, il s'agit donc maintenant d'un affichage de type x n + 1 n + 1 {frac {ax^{n+1}}{n+1}}}{\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Ajoutez la constante c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , ce qui donne maintenant a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}.{\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

On peut le montrer comme :

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}{\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Lorsqu'il y a plusieursx termes de type x, il faut intégrer chaque partie séparément :

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}{\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Cela ne fonctionne que si les parties sont ajoutées ou retirées).

Exemples

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}{\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}{3}}+{\frac {x^{4}{4}}+{\frac {x^{5}{5}}+c}{\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}{\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Il est plus facile de changer les fractions et les racines en pouvoirs :

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}+c}{\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Intégration d'un crochet ("règle de la chaîne")

Si vous voulez intégrer une parenthèse comme ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}{\displaystyle (2x+4)^{3}} Nous devons le faire différemment. C'est ce qu'on appelle la règle de la chaîne. C'est comme une simple intégration. Elle ne fonctionne que si le style d'affichage x entre parenthèses a une puissance de 1 (elle est linéaire), comme le style d'affichage xxx ou le style d'affichage 5x.{\displaystyle 5x} (pas x - 5{\displaystyle x^{5}} ou x - 7){\displaystyle x^{-7}}.

A faire ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}{\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Ajoutez 1 à la puissance{\displaystyle 3} 3, de sorte qu'il s'agit maintenant de (2 x + 4) 4 (2x+4){\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Diviser tout cela par le nouveau pouvoir d'obtenir ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}{4}}}{\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Diviser le tout par la dérivée de la parenthèse ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ){\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} pour obtenir ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}{\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Ajoutez la constante c {\displaystyle c}{\displaystyle c} pour donner 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}{\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Exemples

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\fois 1}}+c={\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(\parce que {frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}{\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\fois 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\parce que {frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}{\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Pages connexes

  • Mathématiques
  • Intégrale

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que l'antidifférenciation ?


R : L'antidifférenciation (également appelée intégration indéfinie) est le processus de recherche d'une certaine fonction en calcul. Elle est l'opposé de la différenciation et consiste à traiter une fonction pour donner une autre fonction (ou une classe de fonctions) appelée antidifférenciation.

Q : Comment est-elle représentée ?


R : Lorsqu'elles sont représentées sous forme de lettres simples, les antidérivées prennent souvent la forme de lettres romaines majuscules telles que F et G. En général, une antidérivée s'écrit sous la forme ∫f(x) dx.

Q : En quoi consiste l'antidifférenciation ?


R : L'antidifférenciation consiste à traiter une fonction pour donner une autre fonction (ou une classe de fonctions) appelée antidérivée.

Q : En quoi diffère-t-elle de l'intégration ?


R : L'antidifférenciation diffère de l'intégration en ce qu'elle n'implique pas de limites - c'est pourquoi elle est appelée intégration indéfinie.

Q : Quels sont les exemples de la façon dont l'antidifférenciation peut être exprimée ?


R : Parmi les exemples de la façon dont l'antidifférenciation peut être exprimée, citons F et G lorsqu'ils sont représentés par des lettres simples, ou ∫f(x) dx lorsqu'ils sont écrits sous forme générale.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3