Primitive

Pour intégrer un affichage de type x n ax^{n}}

• Ajoutez 1 à la puissance n {\displaystyle n} Donc, un affichage de x n est maintenant un affichage de x n + 1
• Divisez tout cela par la nouvelle puissance, il s'agit donc maintenant d'un affichage de type x n + 1 n + 1 {frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
• Ajoutez la constante c {\displaystyle c} , ce qui donne maintenant a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}.

On peut le montrer comme :

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Lorsqu'il y a plusieurs termes de type x, il faut intégrer chaque partie séparément :

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Cela ne fonctionne que si les parties sont ajoutées ou retirées).

Exemples

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}{3}}+{\frac {x^{4}{4}}+{\frac {x^{5}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Il est plus facile de changer les fractions et les racines en pouvoirs :

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Si vous voulez intégrer une parenthèse comme ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} Nous devons le faire différemment. C'est ce qu'on appelle la règle de la chaîne. C'est comme une simple intégration. Elle ne fonctionne que si le style d'affichage x entre parenthèses a une puissance de 1 (elle est linéaire), comme le style d'affichage x ou le style d'affichage 5x. (pas x - 5 ou x - 7).

A faire ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

• Ajoutez 1 à la puissance 3, de sorte qu'il s'agit maintenant de (2 x + 4) 4 (2x+4)
• Diviser tout cela par le nouveau pouvoir d'obtenir ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}{4}}}
• Diviser le tout par la dérivée de la parenthèse ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) pour obtenir ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
• Ajoutez la constante c {\displaystyle c} pour donner 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Exemples

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\fois 1}}+c={\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(\parce que {frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\fois 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\parce que {frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

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