Hypercube
En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte et convexe dont le squelette 1 est constitué de groupes de segments de lignes parallèles opposées, alignées dans chacune des dimensions de l'espace, perpendiculaires les unes aux autres et de même longueur. La plus longue diagonale d'un hypercube unitaire dans la dimension n est égale à n
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Un hypercube n-dimensionnel est également appelé un n-cube ou un cube n-dimensionnel. Le terme "polytope de mesure" est également utilisé, notamment dans les travaux de H. S. M. Coxeter (originaire d'Elte, 1912), mais il est aujourd'hui remplacé.
L'hypercube est le cas particulier de l'hyperrectangle (également appelé n-orthotope).
Un hypercube unitaire est un hypercube dont le côté a une longueur d'une unité. Souvent, l'hypercube dont les coins (ou sommets) sont les 2n points dans Rn avec chaque coordonnée égale à 0 ou 1 est appelé "l'hypercube unitaire".
Construction
Un hypercube peut être défini en augmentant le nombre de dimensions d'une forme :
0 - Un point est un hypercube de dimension zéro.
1 - Si l'on déplace ce point d'une unité de longueur, on balaie un segment de ligne, qui est un hypercube unitaire de dimension un.
2 - Si l'on déplace ce segment de ligne, sa longueur dans une direction perpendiculaire à elle-même ; il balaye un carré à deux dimensions.
3 - Si l'on déplace le carré d'une unité de longueur dans la direction perpendiculaire au plan sur lequel il se trouve, on obtient un cube tridimensionnel.
4 - Si l'on déplace le cube d'une unité de longueur dans la quatrième dimension, on génère un hypercube d'unités à 4 dimensions (un tesson d'unités).
On peut le généraliser à un nombre quelconque de dimensions. Ce processus de balayage des volumes peut être formalisé mathématiquement sous la forme d'une somme de Minkowski : l'hypercube à d dimensions est la somme de Minkowski de d segments de lignes d'unités de longueur mutuellement perpendiculaires, et est donc un exemple de zonotope.
Le squelette 1 d'un hypercube est un graphique hypercube.
Un diagramme montrant comment créer un tesson à partir d'un point.
Une animation montrant comment créer un tesson à partir d'un point.
Pages connexes
- Simplex - l'analogue n-dimensionnel du triangle
- Hyperrectangle - le cas général de l'hypercube, dont la base est un rectangle.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un hypercube ?
R : Un hypercube est un analogue à n dimensions d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte et convexe dont le squelette 1 est constitué de groupes de segments de lignes parallèles opposés, alignés dans chacune des dimensions de l'espace, perpendiculaires les uns aux autres et de même longueur.
Q : Quelle est la plus longue diagonale dans un hypercube à n dimensions ?
R : La plus longue diagonale d'un hypercube à n dimensions est égale à n {\displaystyle {\sqrt {n}}.
Q : Existe-t-il un autre terme pour désigner un hypercube à n dimensions ?
R : Un hypercube à n dimensions est également appelé un n-cube ou un cube à n dimensions. Le terme "polytope de mesure" a également été utilisé, mais il a été supprimé.
Q : Que signifie "hypercube unitaire" ?
R : Un hypercube unitaire est un hypercube dont le côté a une longueur d'une unité. Souvent, l'hypercube unitaire fait référence au cas spécifique où tous les coins ont des coordonnées égales à 0 ou 1.
Q : Comment peut-on définir un "hyperrectangle" ?
R : Un hyperrectangle (également appelé n-orthotope) est défini comme le cas général d'un hypercube.
