Une propriété intéressante de la géométrie hyperbolique découle de l'apparition de plus d'une ligne parallèle passant par un point P : il existe deux classes de lignes non transversales. Soit B le point sur l tel que la droite PB est perpendiculaire à l. Considérons la droite x passant par P telle que x ne coupe pas l, et l'angle θ entre PB et x dans le sens anti-horaire à partir de PB est aussi petit que possible ; c'est-à-dire que tout angle plus petit obligera la droite à couper l. C'est ce qu'on appelle une droite asymptotique en géométrie hyperbolique. Symétriquement, la ligne y qui forme le même angle θ entre PB et elle-même mais dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de PB sera également asymptotique. x et y sont les deux seules lignes asymptotiques par rapport à l à travers P. Toutes les autres lignes à travers P ne croisant pas l, avec des angles supérieurs à θ avec PB, sont appelées ultraparallèles (ou disjointement parallèles) à l. Remarquez que puisqu'il existe un nombre infini d'angles possibles entre θ et 90 degrés, et que chacun d'entre eux déterminera deux lignes passant par P et disjointement parallèles à l, il existe un nombre infini de lignes ultraparallèles.
Nous avons donc cette forme modifiée du postulat parallèle : En géométrie hyperbolique, étant donné toute droite l, et le point P non sur l, il y a exactement deux droites passant par P qui sont asymptotiques à l, et une infinité de droites passant par P ultraparallèles à l.
Les différences entre ces types de lignes peuvent également être examinées de la manière suivante : la distance entre les lignes asymptotiques va jusqu'à zéro dans une direction et augmente sans limite dans l'autre ; la distance entre les lignes ultraparallèles augmente dans les deux directions. Le théorème de l'ultraparallèle stipule qu'il existe une ligne unique dans le plan hyperbolique qui est perpendiculaire à chacune des lignes d'une paire donnée de lignes ultraparallèles.
En géométrie euclidienne, l'angle de parallélisme est une constante, c'est-à-dire que toute distance ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert }
entre lignes parallèles donne un angle de parallélisme égal à 90°. En géométrie hyperbolique, l'angle de parallélisme varie en fonction de la fonction
Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Cette fonction, décrite par Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produit un angle de parallélisme unique pour chaque distance p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert }
. Plus la distance se réduit, plus Π ( p )/style d'affichage \Pi (p)} s'approche de 90°, tandis qu'avec l'augmentation de la distance Π ( p )/style d'affichage \Pi (p)} s'approche de 0°. Ainsi, à mesure que les distances diminuent, le plan hyperbolique se comporte de plus en plus comme la géométrie euclidienne. En effet, à petite échelle par rapport à 1 - K, le plan hyperbolique se comporte de plus en plus comme la géométrie euclidienne.
où K est le style d'affichage de K ! }
est la courbure gaussienne (constante) du plan, un observateur aurait du mal à déterminer s'il se trouve dans le plan euclidien ou dans le plan hyperbolique.
