Géométrie hyperbolique

Lignes non transversales

Une propriété intéressante de la géométrie hyperbolique découle de l'apparition de plus d'une ligne parallèle passant par un point P : il existe deux classes de lignes non transversales. Soit B le point sur l tel que la droite PB est perpendiculaire à l. Considérons la droite x passant par P telle que x ne coupe pas l, et l'angle θ entre PB et x dans le sens anti-horaire à partir de PB est aussi petit que possible ; c'est-à-dire que tout angle plus petit obligera la droite à couper l. C'est ce qu'on appelle une droite asymptotique en géométrie hyperbolique. Symétriquement, la ligne y qui forme le même angle θ entre PB et elle-même mais dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de PB sera également asymptotique. x et y sont les deux seules lignes asymptotiques par rapport à l à travers P. Toutes les autres lignes à travers P ne croisant pas l, avec des angles supérieurs à θ avec PB, sont appelées ultraparallèles (ou disjointement parallèles) à l. Remarquez que puisqu'il existe un nombre infini d'angles possibles entre θ et 90 degrés, et que chacun d'entre eux déterminera deux lignes passant par P et disjointement parallèles à l, il existe un nombre infini de lignes ultraparallèles.

Nous avons donc cette forme modifiée du postulat parallèle : En géométrie hyperbolique, étant donné toute droite l, et le point P non sur l, il y a exactement deux droites passant par P qui sont asymptotiques à l, et une infinité de droites passant par P ultraparallèles à l.

Les différences entre ces types de lignes peuvent également être examinées de la manière suivante : la distance entre les lignes asymptotiques va jusqu'à zéro dans une direction et augmente sans limite dans l'autre ; la distance entre les lignes ultraparallèles augmente dans les deux directions. Le théorème de l'ultraparallèle stipule qu'il existe une ligne unique dans le plan hyperbolique qui est perpendiculaire à chacune des lignes d'une paire donnée de lignes ultraparallèles.

En géométrie euclidienne, l'angle de parallélisme est une constante, c'est-à-dire que toute distance ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } entre lignes parallèles donne un angle de parallélisme égal à 90°. En géométrie hyperbolique, l'angle de parallélisme varie en fonction de la fonction Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Cette fonction, décrite par Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produit un angle de parallélisme unique pour chaque distance p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Plus la distance se réduit, plus Π ( p )/style d'affichage \Pi (p)} s'approche de 90°, tandis qu'avec l'augmentation de la distance Π ( p )/style d'affichage \Pi (p)} s'approche de 0°. Ainsi, à mesure que les distances diminuent, le plan hyperbolique se comporte de plus en plus comme la géométrie euclidienne. En effet, à petite échelle par rapport à 1 - K, le plan hyperbolique se comporte de plus en plus comme la géométrie euclidienne. où K est le style d'affichage de K ! } est la courbure gaussienne (constante) du plan, un observateur aurait du mal à déterminer s'il se trouve dans le plan euclidien ou dans le plan hyperbolique.

Histoire

Un certain nombre de géomètres ont tenté de prouver le postulat parallèle, notamment Omar Khayyám, et plus tard Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert et Legendre. Leurs tentatives ont échoué, mais leurs efforts ont donné naissance à la géométrie hyperbolique. Les théorèmes d'Alhacen, Khayyam sur les quadrilatères, ont été les premiers théorèmes sur la géométrie hyperbolique. Leurs travaux sur la géométrie hyperbolique ont eu une influence sur son développement parmi les géomètres européens ultérieurs, notamment Witelo, Alfonso et John Wallis.

Au XIXe siècle, la géométrie hyperbolique a été explorée par János Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky, qui lui a donné son nom. Lobachevsky a publié en 1830, tandis que Bolyai l'a découverte indépendamment et publiée en 1832. Karl Friedrich Gauss a également étudié la géométrie hyperbolique, décrivant dans une lettre de 1824 au Taureau qu'il l'avait construite, mais n'avait pas publié son travail. En 1868, Eugenio Beltrami en a fourni des modèles, et s'en est servi pour prouver que la géométrie hyperbolique était cohérente si la géométrie euclidienne l'était.

Le terme "géométrie hyperbolique" a été introduit par Felix Klein en 1871. Pour plus d'histoire, voir l'article sur la géométrie non euclidienne.

Modèles du plan hyperbolique

Il existe trois modèles couramment utilisés pour la géométrie hyperbolique : le modèle de Klein, le modèle du disque de Poincaré et le modèle de Lorentz, ou modèle hyperboloïde. Ces modèles définissent un espace hyperbolique réel qui satisfait les axiomes d'une géométrie hyperbolique. Malgré la dénomination, les deux modèles de disque et le modèle de demi-plan ont été introduits comme modèles d'espace hyperbolique par Beltrami, et non par Poincaré ou Klein.

1. Le modèle de Klein, également connu sous le nom de modèle du disque projectif et de modèle de Beltrami-Klein, utilise l'intérieur d'un cercle pour le plan hyperbolique, et les accords du cercle comme lignes.
2. Le modèle de Poincaré prend comme plan hyperbolique la moitié du plan euclidien, déterminé par une droite euclidienne B (B lui-même n'est pas inclus).
• Les lignes hyperboliques sont alors soit des demi-cercles orthogonaux à B, soit des rayons perpendiculaires à B.
• Les deux modèles de Poincaré conservent des angles hyperboliques, et sont donc conformes. Toutes les isométries au sein de ces modèles sont donc des transformations de Möbius.
• Le modèle de demi-plan est identique (à la limite) au modèle de disque Poincaré au bord du disque
• Ce modèle s'applique directement à la relativité spéciale, puisque l'espace 3 de Minkowski est un modèle pour l'espace-temps, supprimant une dimension spatiale. On peut prendre l'hyperboloïde pour représenter les événements que divers observateurs en mouvement, rayonnant vers l'extérieur dans un plan spatial à partir d'un point unique, atteindront en un temps réel fixe. La distance hyperbolique entre deux points de l'hyperboloïde peut alors être identifiée avec la rapidité relative entre les deux observateurs correspondants.

Modèle de disque de Poincaré d'un grand carrelage rhomboïdal {3,7}.

Visualisation de la géométrie hyperbolique

M. Les célèbres gravures de C. Escher Circle Limit III et Circle Limit IV illustrent assez bien le modèle du disque conforme. Dans les deux cas, on peut voir les géodésiques. (Dans III, les lignes blanches ne sont pas des géodésiques, mais des hypercycles, qui courent le long de celles-ci). Il est également possible de voir assez clairement la courbure négative du plan hyperbolique, par son effet sur la somme des angles dans les triangles et les carrés.

Dans le plan euclidien, leurs angles s'élèveraient à 450°, soit un cercle et un quart. On voit donc que la somme des angles d'un triangle dans le plan hyperbolique doit être inférieure à 180°. Une autre propriété visible est la croissance exponentielle. Dans le cercle limite IV, par exemple, on peut voir que le nombre d'anges et de démons à une distance de n du centre augmente de façon exponentielle. Les démons ont une surface hyperbolique égale, de sorte que la surface d'une boule de rayon n doit augmenter exponentiellement dans n.

Il existe plusieurs façons de réaliser physiquement un plan hyperbolique (ou une approximation de celui-ci). Un modèle de papier particulièrement connu basé sur la pseudosphère est dû à William Thurston. L'art du crochet a été utilisé pour démontrer les plans hyperboliques, le premier ayant été réalisé par Daina Taimina. En 2000, Keith Henderson a fait la démonstration d'une maquette en papier rapide à réaliser, appelée "ballon de football hyperbolique".

Une collection de plans hyperboliques crochetés, à l'imitation d'un récif corallien, par l'Institut de la Figuration