Hyperbole (mathématiques)
Une hyperbole est une sorte de section conique. Comme les trois autres types de sections coniques - paraboles, ellipses et cercles - c'est une courbe formée par l'intersection d'un cône et d'un plan. Une hyperbole est créée lorsque le plan croise les deux moitiés d'un double cône, créant ainsi deux courbes qui se ressemblent exactement, mais qui s'ouvrent dans des directions opposées. Cela se produit lorsque l'angle entre l'axe du cône et le plan est inférieur à l'angle entre une ligne sur le côté du cône et le plan.
On trouve des hyperboles dans de nombreux endroits de la nature. Par exemple, un objet en orbite ouverte autour d'un autre objet - où il ne revient jamais - peut se déplacer sous la forme d'une hyperbole. Sur un cadran solaire, le chemin suivi par la pointe de l'ombre au fil du temps est une hyperbole.
L'une des hyperboles les plus connues est le graphe de l'équation f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}
.
Une hyperbole est l'intersection entre les deux moitiés d'un double cône et d'un plan.
Définitions et équations
Les deux courbes déconnectées qui composent une hyperbole sont appelées bras ou branches.
Les deux points où les branches sont les plus proches l'une de l'autre sont appelés les sommets. La ligne entre ces deux points est appelée axe transversal ou grand axe. Le point médian de l'axe transversal est le centre de l'hyperbole.
A grande distance du centre, les branches de l'hyperbole se rapprochent de deux lignes droites. Ces deux lignes sont appelées les asymptotes. Plus la distance du centre augmente, plus l'hyperbole se rapproche des asymptotes, mais ne les croise jamais.
L'axe conjugué ou axe mineur est perpendiculaire, ou à angle droit, à l'axe transversal. Les extrémités de l'axe conjugué se trouvent à la hauteur où un segment qui coupe le sommet et qui est perpendiculaire à l'axe transversal coupe les asymptotes.
Une hyperbole ayant un centre à l'origine du système de coordonnées cartésiennes, qui est le point (0,0), et ayant un axe transversal sur l'axe des x peut être écrite sous la forme de l'équation
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
a est la distance entre le centre et un sommet. La longueur de l'axe transversal est égale à 2a. b est la longueur d'un segment de ligne perpendiculaire entre un sommet et une asymptote. La longueur de l'axe conjugué est égale à 2b.
Les deux branches du type d'hyperbole ci-dessus s'ouvrent à gauche et à droite. Si les branches s'ouvrent vers le haut et vers le bas et que l'axe transversal est sur l'axe des y, alors l'hyperbole peut s'écrire sous la forme de l'équation
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.}
Graphique d'une hyperbole (courbes rouges). Les asymptotes sont représentées par des lignes pointillées bleues. Le centre est marqué C et les deux sommets sont situés à -a et a. Les foyers sont marqués F1 et F2.
Trajectoire hyperbolique
Une trajectoire hyperbolique est la trajectoire suivie par un objet lorsque sa vitesse est supérieure à la vitesse d'échappement d'une planète, d'un satellite ou d'une étoile. Cela signifie que son excentricité orbitale est supérieure à 1. Par exemple, les météores s'approchent sur une trajectoire hyperbolique, et les sondes spatiales interplanétaires partent sur une trajectoire hyperbolique.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'une hyperbole ?
R : Une hyperbole est un type de section conique, c'est-à-dire une courbe formée par l'intersection d'un cône et d'un plan. Elle est créée lorsque le plan croise les deux moitiés d'un double cône, créant ainsi deux courbes qui se ressemblent mais qui s'ouvrent dans des directions opposées.
Q : Comment crée-t-on une hyperbole ?
R : Une hyperbole est créée lorsque le plan coupe les deux moitiés d'un double cône, créant deux courbes qui se ressemblent exactement mais qui s'ouvrent dans des directions opposées. Cela se produit lorsque l'angle entre l'axe du cône et le plan est inférieur à l'angle entre une ligne sur le côté du cône et le plan.
Q : Où peut-on trouver des exemples d'hyperboles dans la nature ?
R : On peut trouver des hyperboles à de nombreux endroits dans la nature. Par exemple, un objet en orbite ouverte autour d'un autre objet - où il ne revient jamais - peut se déplacer sous la forme d'une hyperbole. Sur un cadran solaire, le chemin suivi par la pointe de l'ombre au fil du temps a également la forme d'une hyperbole.
Q : Quelle équation décrit un exemple bien connu d'une hyperbole ?
R : Un exemple bien connu d'équation décrivant une hyperbole est f(x)=1/x .
Q : Outre les hyperboles, quels sont les autres types de sections coniques ?
R : Les autres types de sections coniques comprennent les paraboles, les ellipses et les cercles.
Q : En quoi ces différents types diffèrent-ils les uns des autres ?
R : Les paraboles sont des courbes en forme de U avec un point de sommet ; les ellipses sont des formes ovales avec deux points focaux ; les cercles n'ont ni point de sommet ni point focal ; et enfin, les hyperboles ont deux lignes courbes distinctes qui s'ouvrent vers l'extérieur à partir de leur point central à des angles différents.
