Problèmes de Hilbert

Problème

Brève explication

Statut

Année Résolu

1er

L'hypothèse du continuum (c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'ensemble dont la cardinalité se situe strictement entre celle des entiers et celle des nombres réels)

S'est avéré impossible à prouver ou à réfuter dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec ou sans l'Axiome du choix (à condition que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec ou sans l'Axiome du choix soit cohérente, c'est-à-dire qu'elle ne contienne pas deux théorèmes tels que l'un soit la négation de l'autre). Il n'y a pas de consensus sur la question de savoir si cela constitue une solution au problème.

1963

2e

Prouver que les axiomes de l'arithmétique sont cohérents.

Il n'y a pas de consensus sur la question de savoir si les résultats de Gödel et de Gentzen donnent une solution au problème comme l'a déclaré Hilbert. Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel, prouvé en 1931, montre qu'aucune preuve de sa cohérence ne peut être apportée au sein même de l'arithmétique. La preuve de cohérence de Gentzen (1936) montre que la cohérence de l'arithmétique découle du bien-fondé de l'ordinal ε0.

1936 ?

3ème

S'il existe deux polyèdres de même volume, est-il toujours possible de découper le premier en plusieurs morceaux polyédriques qui peuvent être assemblés pour obtenir le second ?

Résolu. Résultat : non, prouvé à l'aide d'invariants de Dehn.

1900

4ème

Construire toutes les mesures où les lignes sont des géodésiques.

Trop vague pour être déclaré résolu ou non.

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5e

Les groupes continus sont-ils automatiquement des groupes différentiels ?

Résolu par Andrew Gleason ou Hidehiko Yamabe, selon l'interprétation de la déclaration originale. Si, toutefois, elle est comprise comme un équivalent de la conjecture Hilbert-Smith, elle n'est toujours pas résolue.

1953 ?

6ème

Axiomatiser toute la physique

Partiellement résolu.

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7ème

Est-ce que a ^{b est} transcendantal, pour l'algébrique a ≠ 0,1 et l'algébrique irrationnelle b ?

Résolu. Résultat : oui, illustré par le théorème de Gelfond ou le théorème de Gelfond-Schneider.

1934

8ème

L'hypothèse de Riemann ("la partie réelle de tout zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est ½") et d'autres problèmes de nombres premiers, parmi lesquels la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux

Non résolue.

–

9ème

Trouvez la loi la plus générale du théorème de réciprocité dans n'importe quel champ de nombres algébriques

Partiellement résolu.

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10e

Trouver un algorithme pour déterminer si une équation Diophantine polynomiale donnée avec des coefficients entiers a une solution entière.

Résolu. Résultat : impossible, le théorème de Matiyasevich implique qu'il n'existe pas d'algorithme de ce type.

1970

11ème

Résolution de formes quadratiques avec des coefficients numériques algébriques.

Partiellement résolu. ^[]

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12e

Étendre le théorème de Kronecker-Weber sur les extensions abéliennes des nombres rationnels à tout champ de nombres de base.

Partiellement résolu par la théorie des champs de classe, bien que la solution ne soit pas aussi explicite que le théorème de Kronecker-Weber.

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13e

Résoudre des équations du 7ème degré en utilisant les fonctions continues de deux paramètres.

Non résolue. Le problème a été partiellement résolu par Vladimir Arnold sur la base des travaux d'Andreï Kolmogorov.

1957

14ème

L'anneau des invariants d'un groupe algébrique agissant sur un anneau polynomial est-il toujours finement généré ?

Résolu. Résultat : non, le contre-exemple a été construit par Masayoshi Nagata.

1959

15ème

Fondement rigoureux du calcul énumératif de Schubert.

Partiellement résolu. ^[]

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16ème

Décrire les positions relatives des ovales à partir d'une courbe algébrique réelle et comme cycles limites d'un champ vectoriel polynomial sur le plan.

Non résolue.

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17ème

Expression d'une fonction rationnelle définie comme quotient de sommes de carrés

Résolu par Emil Artin et Charles Delzell. Résultat : Une limite supérieure a été fixée pour le nombre de termes carrés nécessaires. Trouver une limite inférieure reste un problème ouvert.

1927

18ème

a) Existe-t-il un polyèdre qui n'admet qu'un carrelage anisoédrique en trois dimensions ?
(b) Quel est l'emballage de la sphère la plus dense ?

(a) Résolu. Résultat : oui (par Karl Reinhardt).
(b) Résolu par Thomas Callister Hales en utilisant la preuve assistée par ordinateur. Résultat : un emballage cubique et un emballage hexagonal, qui ont tous deux une densité d'environ 74 %.

(a) 1928
(b) 1998

19ème

Les solutions des Lagrangiens sont-elles toujours analytiques ?

Résolu. Résultat : oui, prouvé par Ennio de Giorgi et, indépendamment et en utilisant des méthodes différentes, par John Forbes Nash.

1957

20e

Tous les problèmes variables liés à certaines conditions limites ont-ils des solutions ?

Résolu. Un sujet de recherche important tout au long du XXe siècle, qui a abouti à des solutions ^[] pour le cas non linéaire.

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21e

Preuve de l'existence d'équations différentielles linéaires ayant un groupe monodromique prescrit

Résolu. Résultat : Oui ou non, en fonction de la formulation plus précise du problème. ^[]

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22e

Uniformisation des relations analytiques au moyen de fonctions automorphes

Résolu. ^[]

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23ème

Poursuite du développement du calcul des variations

Non résolue.

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