Espace de Hilbert
L'espace de Hilbert est un concept mathématique couvrant l'utilisation extradimensionnelle de l'espace euclidien, c'est-à-dire un espace ayant plus de trois dimensions. Un espace de Hilbert utilise les mathématiques à deux et trois dimensions pour essayer de décrire ce qui se passe dans plus de trois dimensions. Il porte le nom de David Hilbert.
L'algèbre vectorielle et le calcul sont des méthodes normalement utilisées dans le plan euclidien bidimensionnel et l'espace tridimensionnel. Dans les espaces de Hilbert, ces méthodes peuvent être utilisées avec tout nombre fini ou infini de dimensions. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel qui a la structure d'un produit interne permettant de mesurer la longueur et l'angle. Les espaces de Hilbert doivent également être complets, ce qui signifie qu'il doit y avoir suffisamment de limites pour que le calcul fonctionne.
Les premiers espaces Hilbert ont été étudiés dans la première décennie du XXe siècle par David Hilbert, Erhard Schmidt et Frigyes Riesz. John von Neumann a été le premier à proposer le nom "Hilbert Space". Les méthodes de l'espace de Hilbert ont fait une grande différence pour l'analyse fonctionnelle.
Les espaces de Hilbert sont très présents en mathématiques, en physique et en ingénierie, souvent sous forme d'espaces de fonctions à dimensions infinies. Ils sont particulièrement utiles pour étudier les équations aux dérivées partielles, la mécanique quantique, l'analyse de Fourier (qui inclut le traitement du signal et le transfert de chaleur). Les espaces de Hilbert sont utilisés dans la théorie ergodique qui est la base mathématique de la thermodynamique. Tous les espaces euclidiens normaux sont également des espaces de Hilbert. Parmi les autres exemples d'espaces de Hilbert, on trouve les espaces de fonctions intégrables au carré, les espaces de séquences, les espaces Sobolev constitués de fonctions généralisées et les espaces Hardy de fonctions holomorphes.
Les espaces de Hilbert peuvent être utilisés pour étudier les harmoniques des cordes vibrantes.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce qu'un espace de Hilbert ?
R : Un espace de Hilbert est un concept mathématique qui utilise les mathématiques de deux et trois dimensions pour essayer de décrire ce qui se passe dans des dimensions supérieures à trois. C'est un espace vectoriel avec une structure de produit interne qui permet de mesurer la longueur et l'angle, et il doit également être complet pour que le calcul fonctionne.
Q : Qui a nommé le concept d'espaces de Hilbert ?
R : Le concept des espaces de Hilbert a été étudié pour la première fois au début du 20e siècle par David Hilbert, Erhard Schmidt et Frigyes Riesz. C'est John von Neumann qui a inventé le nom "espace de Hilbert".
Q : Quelles sont les applications des espaces de Hilbert ?
R : Les espaces de Hilbert sont utilisés dans de nombreux domaines tels que les mathématiques, la physique, l'ingénierie, l'analyse fonctionnelle, les équations aux dérivées partielles, la mécanique quantique, l'analyse de Fourier (qui comprend le traitement du signal et le transfert de chaleur), la théorie ergodique (la base mathématique de la thermodynamique), les fonctions intégrables au carré, les séquences, les espaces de Sobolev constitués de fonctions généralisées, les espaces de Hardy des fonctions holomorphes.
Q : Tous les espaces euclidiens normaux sont-ils également considérés comme des espaces de Hilbert ?
R : Oui - tous les espaces euclidiens normaux sont également considérés comme des espaces de Hilbert.
Q : Comment les espaces de Hilbert ont-ils fait la différence pour l'analyse fonctionnelle ?
R : L'utilisation des espaces de Hilbert a fait une grande différence pour l'analyse fonctionnelle en fournissant de nouvelles méthodes pour étudier les problèmes liés à ce domaine.
Q : Quel type de mathématiques doit-on connaître lorsqu'on travaille avec un espace de Hilbert ?
R : L'algèbre vectorielle et le calcul sont normalement utilisés lorsqu'on travaille avec un plan euclidien bidimensionnel ou un espace tridimensionnel ; toutefois, ces méthodes peuvent également être utilisées avec n'importe quel nombre fini ou infini de dimensions lorsqu'on traite un espace de Hilbert.
