Nous montrerons ici la première équation qui a donné l'idée de base qui a ensuite été exposée dans le principe d'incertitude de Heisenberg.
Le papier révolutionnaire de Heisenberg de 1925 n'utilise pas et ne mentionne même pas les matrices. Le grand succès de Heisenberg est le "schéma qui était en principe capable de déterminer de manière unique les qualités physiques pertinentes (fréquences et amplitudes de transition)" du rayonnement de l'hydrogène.
Après avoir rédigé son article sur la percée, Heisenberg l'a remis à un de ses professeurs pour qu'il le corrige et est parti en vacances. Max Born a été intrigué par les équations et les équations de non-travail que même Heisenberg pensait être un problème. Après plusieurs jours, Born a réalisé que ces équations étaient des indications pour écrire des matrices. Les matrices étaient nouvelles et étranges, même pour les mathématiciens de l'époque, mais on savait déjà clairement comment faire des maths avec elles. Avec quelques autres, il a tout mis au point sous forme de matrice avant le retour de Heisenberg, et en quelques mois, la nouvelle mécanique quantique sous forme de matrice leur a donné les bases d'un autre article.
Max Born a vu que lorsque les matrices qui représentent pq et qp étaient calculées, elles ne seraient pas égales. Heisenberg avait déjà vu la même chose en ce qui concerne sa façon originale d'écrire les choses, et Heisenberg a peut-être deviné ce qui était presque immédiatement évident pour Born : la différence entre les matrices de réponse pour pq et pour qp impliquerait toujours deux facteurs issus des mathématiques originales de Heisenberg : la constante de Planck h et i, qui est la racine carrée de la négative. Ainsi, l'idée même de ce que Heisenberg préférait appeler le "principe d'indétermination" (généralement connu sous le nom de principe d'incertitude) se cachait dans les équations originales de Heisenberg.
Heisenberg s'est penché sur les changements qui se produisent dans un atome lorsqu'un électron change de niveau d'énergie et se rapproche ou s'éloigne de son centre, et, en particulier, sur les situations dans lesquelles un électron passe à un état d'énergie inférieur en deux étapes. Max Born a expliqué comment il a pris l'étrange "recette" de Heisenberg pour trouver le produit C d'un changement dans un atome du niveau d'énergie n au niveau d'énergie n-b, ce qui implique de prendre la somme de la multiplication d'un changement dans quelque chose appelé A (qui pourrait être, par exemple, la fréquence d'un photon) produit par un changement d'énergie d'un électron dans l'atome entre l'état d'énergie n et l'état d'énergie n-a) par un changement successif dans quelque chose appelé B (qui pourrait être, par exemple, l'amplitude d'un changement) produit par un autre changement d'état d'énergie de n-a à n-b) :
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b )
et a découvert quelque chose de révolutionnaire :
En considérant ...des exemples... [Heisenberg] a trouvé cette règle.... C'était à l'été 1925. Heisenberg...a pris un congé...et m'a remis son document pour publication....
La règle de multiplication d'Heisenberg ne m'a pas laissé de répit, et après une semaine de réflexion et d'essais intensifs, je me suis soudain souvenu d'une théorie algébrique De.... tels tableaux quadratiques sont tout à fait familiers aux mathématiciens et sont appelés matrices, en association avec une règle de multiplication définie. J'ai appliqué cette règle à la condition quantique de Heisenberg et j'ai constaté qu'elle était valable pour les éléments diagonaux. Il était facile de deviner quels devaient être les éléments restants, à savoir les éléments nuls ; et aussitôt, je me suis trouvé face à l'étrange formule
Q P - P Q = i h 2 π {\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}
[Le symbole Q est la matrice du déplacement, P est la matrice de l'impulsion, i représente la racine carrée de la valeur négative et h est la constante de Planck].
Plus tard, Heisenberg a mis sa découverte sous une autre forme mathématique :
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}
(Le symbole spécial ℏ
est appelé "h-bar", ou "constante de planches réduite", est égal à h 2. π
.)
Les mathématiques sont une façon de décrire les choses qui se passent dans le monde réel. Vous pouvez imaginer qu'il serait facile d'obtenir à la fois la position exacte d'une chose et sa masse, sa trajectoire et sa vitesse exactes. Cependant, en réalité, vous devez faire deux choses pour obtenir votre réponse. Si vous mesurez la position et l'élan d'une balle qui est coincée dans une falaise d'une grande montagne quelque part, c'est une question simple. La montagne ne semble aller nulle part, et la balle non plus. Mais si la balle se trouve quelque part entre un fusil et une cible, il sera difficile d'obtenir sa position à un moment donné. Le mieux que nous puissions faire est de prendre une photo de la balle avec un appareil photo à obturateur très rapide. Mais un seul appui sur l'obturateur ne vous donnera qu'une seule chose, la position de la balle au moment t. Pour obtenir l'élan, nous pourrions mettre un bloc de paraffine sur le chemin de la balle et mesurer comment le bloc de paraffine s'est déplacé lorsqu'il a arrêté la balle. Ou, si nous connaissions la masse de la balle, nous pourrions prendre une séquence de deux photos, calculer la vitesse en connaissant la différence entre les deux positions de la balle et le temps entre ses deux apparitions. Quoi qu'il en soit, nous devons mesurer la masse, la position et le temps entre les apparitions. Nous finissons par faire au moins deux mesures pour arriver à x et p. Dans ce cas, nous devons choisir quelle mesure faire en premier, et laquelle faire en second. Il semble que l'ordre dans lequel nos mesures sont effectuées ne fasse aucune différence. Mesurer la masse de la balle puis mesurer ses positions deux fois, ou mesurer les positions de la balle deux fois puis récupérer la balle et mesurer sa masse ne ferait aucune différence, n'est-ce pas ? Après tout, nous n'avons rien fait à la balle lorsque nous la pesons ou lorsque nous la photographions.
Mais à très petite échelle, lorsque nous mesurons quelque chose comme un électron, chaque mesure a un effet sur lui. Si nous mesurons d'abord la position, nous modifions son moment dans le processus. Si nous mesurons d'abord l'élan de l'électron, nous changeons sa position dans le processus. Notre espoir serait de mesurer l'un d'entre eux puis de mesurer l'autre avant que quoi que ce soit ne change, mais notre mesure elle-même apporte un changement, et le mieux que nous puissions espérer faire est de réduire au minimum l'énergie que nous apportons à l'électron en le mesurant. La constante de Planck est l'un des facteurs qui déterminent cette quantité minimale d'énergie.
