Fonction de Heaviside

Nous pouvons également définir une forme alternative de la fonction de Heaviside step en fonction d'une variable discrète n :

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}}

où n est un nombre entier.

Ou

H ( x ) = lim z → x - ( ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {\displaystyle H(x)=\lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)}

L'impulsion unitaire en temps discret est la première différence du pas de temps discret

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . {\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1] . }

Cette fonction est la somme cumulative du delta de Kronecker :

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}

où

δ [ k ] = δ k , 0 {\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}\,}

est la fonction d'impulsion de l'unité discrète.

Souvent, une représentation intégrale de la fonction de l'escalier Heaviside est utile :

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . {\displaystyle H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau . }

La valeur de la fonction à 0 peut être définie comme H(0) = 0, H(0) = ½ ou H(0) = 1.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\\1,&x>0.\end{cases}}

• Transformation de Laplace