Alternance de séries harmoniques
La série
∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }
est connue sous le nom de série harmonique alternée. Cette série converge par le test de la série alternée. En particulier, la somme est égale au logarithme naturel de 2 :
1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots = ln 2.}
Les séries harmoniques alternées, bien que conditionnellement convergentes, ne sont pas absolument convergentes : si les termes des séries sont systématiquement réarrangés, en général la somme devient différente et, selon le réarrangement, peut-être même infinie.
La formule des séries harmoniques alternées est un cas particulier de la série de Mercator, la série de Taylor pour le logarithme naturel.
Une série connexe peut être dérivée de la série de Taylor pour l'arctangente :
∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. }
C'est ce qu'on appelle la série Leibniz.
Série harmonique générale
La série harmonique générale est de la forme
∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}
où a ≠ 0 et b sont des nombres réels, et b/a n'est pas zéro ou un nombre entier négatif.
Par le test de comparaison des limites avec les séries harmoniques, toutes les séries harmoniques générales divergent également.
Série p
Une généralisation de la série harmonique est la série p (ou série hyperharmonique), définie comme
∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}
pour tout nombre réel p. Lorsque p = 1, la série p est la série harmonique, qui diverge. Soit le test intégral, soit le test de condensation de Cauchy montre que la série p converge pour tous les p > 1 (auquel cas on parle de série sur-harmonique) et diverge pour tous les p ≤ 1. Si p > 1, alors la somme de la série p est ζ(p), c'est-à-dire la fonction zêta de Riemann évaluée à p.
Le problème consistant à trouver la somme pour p = 2 s'appelle le problème de Bâle ; Leonhard Euler l'a montré : π2/6. La valeur de la somme pour p = 3 est appelée constante d'Apéry, puisque Roger Apéry a prouvé qu'il s'agit d'un nombre irrationnel.
Série ln
La série p est associée à la série ln, définie comme suit
∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}
pour tout nombre réel positif p. Cela peut être démontré par le test intégral pour diverger pour p ≤ 1 mais converger pour tous p > 1.
φ-series
Pour toute fonction convexe à valeur réelle φ telle que
lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}}<{\frac {1}{2}},}
la série
∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}
est convergent. []
Séries harmoniques aléatoires
Les séries harmoniques aléatoires
∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}
où les sn sont des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, prenant les valeurs +1 et -1 avec une probabilité égale à 1/2, est un exemple bien connu dans la théorie des probabilités pour une série de variables aléatoires qui convergent avec la probabilité 1. Le fait de cette convergence est une conséquence facile soit du théorème des trois séries de Kolmogorov, soit de l'inégalité maximale de Kolmogorov, étroitement liée. Byron Schmuland de l'Université d'Alberta a examiné plus en détail les propriétés des séries harmoniques aléatoires et a montré que la série convergente est une variable aléatoire qui présente certaines propriétés intéressantes. En particulier, la fonction de densité de probabilité de cette variable aléatoire évaluée à +2 ou à -2 prend la valeur 0,12499999999999999999999999999999999999999999764..., différant de 1/8 par moins de 10-42. L'article de Schmuland explique pourquoi cette probabilité est si proche de 1/8, mais pas exactement. La valeur exacte de cette probabilité est donnée par l'intégrale C2 du produit cosinus infini divisée par π.
Série harmonique épuisée
On peut montrer que les séries d'harmoniques épuisées où tous les termes dans lesquels le chiffre 9 apparaît n'importe où dans le dénominateur sont supprimés convergent et que leur valeur est inférieure à 80. En fait, lorsque tous les termes contenant une chaîne particulière de chiffres (dans n'importe quelle base) sont supprimés, la série converge.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/fb2621888aefe7aee579338766d1934f214895fc.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/bd95add1bb219ab2309037cab6efdb5dc31815db.svg)
