Série harmonique

Le fait que les séries harmoniques divergent a été prouvé pour la première fois au XIVe siècle par Nicole Oresme, mais a été oublié. Les preuves ont été données au XVIIe siècle par Pietro Mengoli, Johann Bernoulli et Jacob Bernoulli.

Les séquences harmoniques ont été utilisées par les architectes. À l'époque baroque, les architectes les utilisaient dans les proportions des plans d'étage, des élévations et dans les relations entre les détails architecturaux des églises et des palais.

Il existe plusieurs preuves bien connues de la divergence des séries harmoniques. Quelques-unes d'entre elles sont données ci-dessous.

Test de comparaison

Une façon de prouver la divergence est de comparer la série harmonique avec une autre série divergente, où chaque dénominateur est remplacé par la puissance de deux immédiatement supérieure :

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\cdots \\\\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\couleur {rouge}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{\r}}}

Chaque terme de la série harmonique est supérieur ou égal au terme correspondant de la deuxième série, et la somme des séries harmoniques doit donc être supérieure ou égale à la somme de la deuxième série. Cependant, la somme de la deuxième série est infinie :

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\ !+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\ !+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\ !{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\\\\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}

Il s'ensuit (par le test de comparaison) que la somme des séries harmoniques doit être également infinie. Plus précisément, la comparaison ci-dessus prouve que

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}

pour chaque entier positif k.

Cette preuve, proposée par Nicole Oresme vers 1350, est considérée comme un point culminant des mathématiques médiévales. Elle est encore aujourd'hui une preuve standard enseignée dans les cours de mathématiques.

Test intégral

Il est possible de prouver que la série harmonique diverge en comparant sa somme avec une intégrale incorrecte. Considérons la disposition des rectangles illustrée dans la figure de droite. Chaque rectangle a une largeur de 1 unité et une hauteur de 1/n unités, de sorte que la surface totale du nombre infini de rectangles est la somme des séries harmoniques :

surface des rectangles = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}}\\\{\text{rectangles}}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

L'aire totale sous la courbe y = 1/x de 1 à l'infini est donnée par une intégrale divergente impropre :

surface sous la courbe = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area under}}\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty . }

Comme cette surface est entièrement contenue dans les rectangles, la surface totale des rectangles doit également être infinie. Cela prouve que

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1). }

La généralisation de cet argument est connue sous le nom de test intégral.

La série harmonique diverge très lentement. Par exemple, la somme des ¹⁰⁴³ premiers termes est inférieure à 100. Cela s'explique par le fait que les sommes partielles des séries ont une croissance logarithmique. En particulier,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni et _εk ~ 1/2k qui s'approche de 0 lorsque k va à l'infini. Leonhard Euler a prouvé à la fois cela et aussi que la somme qui ne comprend que les réciproques des nombres premiers diverge aussi, c'est-à-dire :

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty . }

Les sommes partielles finies des séries harmoniques divergentes,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

sont appelés numéros harmoniques.

La différence entre Hn et ln n converge vers la constante d'Euler-Mascheroni. La différence entre deux nombres harmoniques quelconques n'est jamais un nombre entier. Aucun nombre harmonique n'est un nombre entier, sauf pour _H1 = 1.

Alternance de séries harmoniques

La série

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }

est connue sous le nom de série harmonique alternée. Cette série converge par le test de la série alternée. En particulier, la somme est égale au logarithme naturel de 2 :

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots = ln 2.}

Les séries harmoniques alternées, bien que conditionnellement convergentes, ne sont pas absolument convergentes : si les termes des séries sont systématiquement réarrangés, en général la somme devient différente et, selon le réarrangement, peut-être même infinie.

La formule des séries harmoniques alternées est un cas particulier de la série de Mercator, la série de Taylor pour le logarithme naturel.

Une série connexe peut être dérivée de la série de Taylor pour l'arctangente :

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. }

C'est ce qu'on appelle la série Leibniz.

Série harmonique générale

La série harmonique générale est de la forme

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

où a ≠ 0 et b sont des nombres réels, et b/a n'est pas zéro ou un nombre entier négatif.

Par le test de comparaison des limites avec les séries harmoniques, toutes les séries harmoniques générales divergent également.

Série p

Une généralisation de la série harmonique est la série p (ou série hyperharmonique), définie comme

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

pour tout nombre réel p. Lorsque p = 1, la série p est la série harmonique, qui diverge. Soit le test intégral, soit le test de condensation de Cauchy montre que la série p converge pour tous les p > 1 (auquel cas on parle de série sur-harmonique) et diverge pour tous les p ≤ 1. Si p > 1, alors la somme de la série p est ζ(p), c'est-à-dire la fonction zêta de Riemann évaluée à p.

Le problème consistant à trouver la somme pour p = 2 s'appelle le problème de Bâle ; Leonhard Euler l'a montré : ^π2/6. La valeur de la somme pour p = 3 est appelée constante d'Apéry, puisque Roger Apéry a prouvé qu'il s'agit d'un nombre irrationnel.

Série ln

La série p est associée à la série ln, définie comme suit

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

pour tout nombre réel positif p. Cela peut être démontré par le test intégral pour diverger pour p ≤ 1 mais converger pour tous p > 1.

φ-series

Pour toute fonction convexe à valeur réelle φ telle que

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}}<{\frac {1}{2}},}

la série

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

est convergent. ^[]

Séries harmoniques aléatoires

Les séries harmoniques aléatoires

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

où les _sn sont des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, prenant les valeurs +1 et -1 avec une probabilité égale à 1/2, est un exemple bien connu dans la théorie des probabilités pour une série de variables aléatoires qui convergent avec la probabilité 1. Le fait de cette convergence est une conséquence facile soit du théorème des trois séries de Kolmogorov, soit de l'inégalité maximale de Kolmogorov, étroitement liée. Byron Schmuland de l'Université d'Alberta a examiné plus en détail les propriétés des séries harmoniques aléatoires et a montré que la série convergente est une variable aléatoire qui présente certaines propriétés intéressantes. En particulier, la fonction de densité de probabilité de cette variable aléatoire évaluée à +2 ou à -2 prend la valeur 0,12499999999999999999999999999999999999999999764..., différant de 1/8 par moins de 10-42. L'article de Schmuland explique pourquoi cette probabilité est si proche de 1/8, mais pas exactement. La valeur exacte de cette probabilité est donnée par l'intégrale _{C2 du} produit cosinus infini divisée par π.

Série harmonique épuisée

On peut montrer que les séries d'harmoniques épuisées où tous les termes dans lesquels le chiffre 9 apparaît n'importe où dans le dénominateur sont supprimés convergent et que leur valeur est inférieure à 80. En fait, lorsque tous les termes contenant une chaîne particulière de chiffres (dans n'importe quelle base) sont supprimés, la série converge.

La série harmonique peut être contre-intuitive. En effet, il s'agit d'une série divergente même si les termes de la série deviennent plus petits et vont vers zéro. La divergence de la série harmonique est à l'origine de certains paradoxes.

• Le "ver sur l'élastique". Supposons qu'un ver rampe le long d'un élastique d'un mètre infiniment élastique en même temps que l'élastique est uniformément tendu. Si le ver se déplace d'un centimètre par minute et que l'élastique s'étire d'un mètre par minute, le ver atteindra-t-il un jour l'extrémité de l'élastique ? La réponse, contre-intuitive, est "oui", car après n minutes, le rapport entre la distance parcourue par le ver et la longueur totale de l'élastique est

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }

Comme la série devient arbitrairement grande à mesure que n augmente, ce rapport doit finalement dépasser 1, ce qui implique que le ver atteint l'extrémité de l'élastique. Cependant, la valeur de n à laquelle cela se produit doit être extrêmement grande : environ e100, un nombre dépassant ¹⁰⁴³ minutes (1037 ans). Bien que les séries harmoniques divergent, elles le font très lentement.

• Le problème de la Jeep demande quelle quantité totale de carburant est nécessaire pour qu'une voiture ayant une capacité de charge limitée puisse traverser un désert en laissant des gouttes de carburant le long du parcours. La distance que la voiture peut parcourir avec une quantité donnée de carburant est liée aux sommes partielles des séries harmoniques, qui croissent de façon logarithmique. Ainsi, la quantité de carburant nécessaire augmente de manière exponentielle avec la distance souhaitée.

• Le problème de l'empilage des blocs : étant donné une collection de dominos identiques, il est possible de les empiler sur le bord d'une table de manière à ce qu'ils pendent sur le bord de la table sans tomber. Le résultat contre-intuitif est qu'ils peuvent être empilés de manière à ce que le surplomb soit aussi grand que vous le souhaitez. C'est-à-dire, à condition qu'il y ait suffisamment de dominos.

• Un nageur qui va plus vite chaque fois qu'il touche le mur de la piscine. Le nageur commence à traverser une piscine de 10 mètres à une vitesse de 2 m/s, et à chaque traversée, 2 m/s supplémentaires sont ajoutés à la vitesse. En théorie, la vitesse du nageur est illimitée, mais le nombre de traversées de piscine nécessaires pour atteindre cette vitesse devient très important ; par exemple, pour atteindre la vitesse de la lumière (en ignorant la relativité spéciale), le nageur doit traverser la piscine 150 millions de fois. Contrairement à ce grand nombre, le temps nécessaire pour atteindre une vitesse donnée dépend de la somme des séries à un nombre donné de passages en piscine :

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }

Le calcul de la somme montre que le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de la lumière n'est que de 97 secondes.

• Progression harmonique
• Liste des sommes réciproques