Loi de Gumbel

La distribution de Gumbel est une distribution de probabilité continue. Les distributions de Gumbel sont une famille de distributions de même forme générale. Ces distributions diffèrent par leur emplacement et leurs paramètres d'échelle : la moyenne ("average") de la distribution définit son emplacement, et l'écart-type ("variability") définit l'échelle.

On reconnaît la fonction de densité de probabilité de Gumbel (PDF) et la fonction de distribution cumulative de Gumbel (CDF).

PDF

Dans la PDF, la probabilité P qu'une valeur V se produise entre les limites A et B, brièvement écrite comme P(A<V<B), est trouvée par l'aire sous la courbe PDF entre A et B.

Contrairement à la distribution normale, le PDF de Gumbel est a-symétrique et incliné vers la droite.

CDF

Dans la CDF, la probabilité qu'une valeur V soit inférieure à A se retrouve directement comme la valeur de la CDF à A :

P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {\displaystyle P(V\leq A)=CDF(A)} .

Le CDF

L'expression mathématique de la CDF est :

C D F ( A ) = e - e - ( A - μ ) / β , {\displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A-\mu )/\beta }},}

où μ est le mode (la valeur où la fonction de densité de probabilité atteint son maximum), e est une constante mathématique, environ 2,718, et β est une valeur liée à l'écart type (σ) :

β = σ 6 / π , {\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi ,}

où π est le symbole grec de Pi dont la valeur est proche de 22/7 ou de 3,142, et le symbole [displaystyle] représente la racine carrée.

Mode et médiane

Le mode μ peut être trouvé à partir de la médiane M, qui est la valeur de A où CDF(A)=0,5, et β :

μ = M + β ln ( ln 2 ) , {\displaystyle \mu = M+\beta \ln \left(\ln 2\right),}

où ln est le logarithme naturel.

Moyenne

La moyenne, E(x), donnée par :

E ( x ) = μ + c β , {\displaystyle \operatorname {E} (x)=\mu +c\beta ,}

où c = constante d'Euler ≈ 0.5772.

Dans une série de données, le mode paramètres (μ) et β peut être estimé à partir de la moyenne, de la médiane et de l'écart-type. Le calcul des trois dernières quantités est expliqué dans les pages Wiki respectives. Ensuite, à l'aide des formules données dans la section précédente, les facteurs μ et β peuvent être calculés. De cette façon, la CDF de la distribution de Gumbel appartenant aux données peut être déterminée et la probabilité de valeurs intéressantes des données peut être trouvée.

En hydrologie, la distribution de Gumbel est utilisée pour analyser des variables telles que les valeurs maximales mensuelles et annuelles des précipitations quotidiennes et des volumes de débit des rivières, et aussi pour décrire les sécheresses.

L'image bleue illustre un exemple d'ajustement de la distribution de Gumbel à des précipitations maximales d'un jour en octobre classées, montrant également la ceinture de confiance de 90 % basée sur la distribution binomiale.