Loi de Gumbel

Propriétés

La distribution de Gumbel est une distribution de probabilité continue. Les distributions de Gumbel sont une famille de distributions de même forme générale. Ces distributions diffèrent par leur emplacement et leurs paramètres d'échelle : la moyenne ("average") de la distribution définit son emplacement, et l'écart-type ("variability") définit l'échelle.

On reconnaît la fonction de densité de probabilité de Gumbel (PDF) et la fonction de distribution cumulative de Gumbel (CDF).

PDF

Dans la PDF, la probabilité P qu'une valeur V se produise entre les limites A et B, brièvement écrite comme P(A<V<B), est trouvée par l'aire sous la courbe PDF entre A et B.

Exemple de probabilité dans le PDF

Dans la figure de la fonction de densité de probabilité normale, les valeurs sur l'axe horizontal doivent se lire respectivement : μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ+1σ, μ+2σ et μ+3σ. μ = moyenne, σ = écart-type. Les surfaces sous la courbe dans les intervalles, chacune d'une largeur d'un écart-type, donnent la probabilité d'occurrence dans ces intervalles. Exemple : la probabilité qu'une valeur V apparaisse dans l'intervalle compris entre A=μ+1σ et B=μ+2σ est P(μ+1σ<V<μ+2σ)=13,6 % ou 0,136

Contrairement à la distribution normale, le PDF de Gumbel est a-symétrique et incliné vers la droite.

CDF

Dans la CDF, la probabilité qu'une valeur V soit inférieure à A se retrouve directement comme la valeur de la CDF à A :

P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {\displaystyle P(V\leq A)=CDF(A)} .

Exemple de probabilité dans la CDF

Dans la figure CDF de Gumbel, la courbe rouge indique que la probabilité que V soit inférieur à 5 est de 0,9 (ou 90%), alors que pour la ligne bleu foncé cette probabilité est de 0,7 ou 70%.

La fonction de densité de probabilité normale (PDF) est symétrique.

Mathématiques

Le CDF

L'expression mathématique de la CDF est :

C D F ( A ) = e - e - ( A - μ ) / β , {\displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A-\mu )/\beta }},}

où μ est le mode (la valeur où la fonction de densité de probabilité atteint son maximum), e est une constante mathématique, environ 2,718, et β est une valeur liée à l'écart type (σ) :

β = σ 6 / π , {\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi ,}

où π est le symbole grec de Pi dont la valeur est proche de 22/7 ou de 3,142, et le symbole [displaystyle] représente la racine carrée.

Mode et médiane

Le mode μ peut être trouvé à partir de la médiane M, qui est la valeur de A où CDF(A)=0,5, et β :

μ = M + β ln ( ln 2 ) , {\displaystyle \mu = M+\beta \ln \left(\ln 2\right),}

où ln est le logarithme naturel.

Moyenne

La moyenne, E(x), donnée par :

E ( x ) = μ + c β , {\displaystyle \operatorname {E} (x)=\mu +c\beta ,}

où c = constante d'Euler ≈ 0.5772.

Il existe deux séries de données : le rouge et le bleu. Toutes deux ont la même moyenne (moyenne) : 100, mais le groupe bleu a un écart-type plus important (SD=σ=50) que le groupe rouge (SD=σ=10).

Estimation

Dans une série de données, le mode paramètres (μ) et β peut être estimé à partir de la moyenne, de la médiane et de l'écart-type. Le calcul des trois dernières quantités est expliqué dans les pages Wiki respectives. Ensuite, à l'aide des formules données dans la section précédente, les facteurs μ et β peuvent être calculés. De cette façon, la CDF de la distribution de Gumbel appartenant aux données peut être déterminée et la probabilité de valeurs intéressantes des données peut être trouvée.

A adapté la distribution cumulative de Gumbel aux précipitations maximales d'un jour en octobre en utilisant CumFreq

Candidature

En hydrologie, la distribution de Gumbel est utilisée pour analyser des variables telles que les valeurs maximales mensuelles et annuelles des précipitations quotidiennes et des volumes de débit des rivières, et aussi pour décrire les sécheresses.

L'image bleue illustre un exemple d'ajustement de la distribution de Gumbel à des précipitations maximales d'un jour en octobre classées, montrant également la ceinture de confiance de 90 % basée sur la distribution binomiale.