Les théorèmes d'incomplétude de Gödel est le nom donné à deux théorèmes (véritables énoncés mathématiques), prouvés par Kurt Gödel en 1931. Ce sont des théorèmes de la logique mathématique.
Les mathématiciens pensaient autrefois que tout ce qui est vrai a une preuve mathématique. Un système qui a cette propriété est dit complet ; un système qui ne l'a pas est dit incomplet. De plus, les idées mathématiques ne doivent pas avoir de contradictions. Cela signifie qu'elles ne doivent pas être vraies et fausses en même temps. Un système qui ne comporte pas de contradictions est appelé cohérent. Ces systèmes sont basés sur des ensembles d'axiomes. Les axiomes sont des déclarations qui sont acceptées comme vraies et qui n'ont pas besoin d'être prouvées.
Gödel a déclaré que tout système formel non trivial (intéressant) est soit incomplet soit incohérent :
- Il y aura toujours des questions auxquelles on ne pourra pas répondre, en utilisant un certain ensemble d'axiomes ;
- Vous ne pouvez pas prouver qu'un système d'axiomes est cohérent, sauf si vous utilisez un ensemble différent d'axiomes.
Ces théorèmes sont importants pour les mathématiciens car ils prouvent qu'il est impossible de créer un ensemble d'axiomes qui explique tout en mathématiques.