Théorèmes d'incomplétude de Gödel
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel est le nom donné à deux théorèmes (véritables énoncés mathématiques), prouvés par Kurt Gödel en 1931. Ce sont des théorèmes de la logique mathématique.
Les mathématiciens pensaient autrefois que tout ce qui est vrai a une preuve mathématique. Un système qui a cette propriété est dit complet ; un système qui ne l'a pas est dit incomplet. De plus, les idées mathématiques ne doivent pas avoir de contradictions. Cela signifie qu'elles ne doivent pas être vraies et fausses en même temps. Un système qui ne comporte pas de contradictions est appelé cohérent. Ces systèmes sont basés sur des ensembles d'axiomes. Les axiomes sont des déclarations qui sont acceptées comme vraies et qui n'ont pas besoin d'être prouvées.
Gödel a déclaré que tout système formel non trivial (intéressant) est soit incomplet soit incohérent :
- Il y aura toujours des questions auxquelles on ne pourra pas répondre, en utilisant un certain ensemble d'axiomes ;
- Vous ne pouvez pas prouver qu'un système d'axiomes est cohérent, sauf si vous utilisez un ensemble différent d'axiomes.
Ces théorèmes sont importants pour les mathématiciens car ils prouvent qu'il est impossible de créer un ensemble d'axiomes qui explique tout en mathématiques.
Quelques sujets connexes
- Le deuxième problème de Hilbert.
Questions et réponses
Q : Que sont les théorèmes d'incomplétude de Gödel ?
R : Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux énoncés mathématiques vrais, prouvés par Kurt Gödel en 1931, dans le domaine de la logique mathématique.
Q : Qu'est-ce qu'un système complet en mathématiques ?
R : Un système complet en mathématiques est un système qui a la propriété que tout ce qui est vrai a une preuve mathématique.
Q : Qu'est-ce qu'un système incomplet en mathématiques ?
R : Un système incomplet en mathématiques est un système qui n'a pas la propriété que tout ce qui est vrai a une preuve mathématique.
Q : Qu'est-ce qu'un système cohérent en mathématiques ?
R : Un système cohérent en mathématiques est un système qui ne comporte pas de contradictions, ce qui signifie que les idées mathématiques ne doivent pas être vraies et fausses à la fois.
Q : Que sont les axiomes en mathématiques ?
R : Les axiomes en mathématiques sont des énoncés qui sont acceptés comme vrais et qui ne nécessitent pas de preuve.
Q : Qu'a affirmé Gödel à propos de tout système formel non trivial ?
R : Gödel affirmait que tout système formel non trivial est soit incomplet, soit incohérent.
Q : Pourquoi les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont-ils importants pour les mathématiciens ?
R : Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont importants pour les mathématiciens car ils prouvent qu'il est impossible de créer un ensemble d'axiomes qui explique tout en mathématiques.
