Supposons que l'objectif soit de trouver les réponses à ce système d'équations linéaires.
2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}}
Tout d'abord, le système doit être transformé en une matrice augmentée. Dans une matrice augmentée, chaque équation linéaire devient une ligne. D'un côté de la matrice augmentée, les coefficients de chaque terme de l'équation linéaire deviennent des nombres dans la matrice. De l'autre côté de la matrice augmentée se trouvent les termes constants auxquels chaque équation linéaire est égale. Pour ce système, la matrice augmentée est :
[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/c279270bdbca44706acb79d27400e78e087b08bc.svg)
Ensuite, des opérations de ligne peuvent être effectuées sur la matrice augmentée pour la simplifier. Le tableau ci-dessous montre le processus de réduction des lignes sur le système d'équations et sur la matrice augmentée.
| Système d'équations | Opérations en rangée | Matrice augmentée |
| 2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} | | [ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} |
| 2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} | R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{2}}
R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} | [ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/5c6b056393df5a20d26cc2a837d080876155353a.svg) |
| {\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} | R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} | [ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/4795004b37edb67b30506b8148fa47a0a7f95106.svg) |
La matrice est maintenant sous forme de rangée d'échelons. C'est ce qu'on appelle aussi la forme triangulaire.
| Système d'équations | Opérations en rangée | Matrice augmentée |
| 2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\\&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} | R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}}
R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} | [ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/30d4e61eca6607a30b53dd0302c5f7c7bb1701f5.svg) |
| &y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&& &&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} | 2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} -
R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} | [ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/404fbc9e271cb9afc77a915b607efdc350ae7e11.svg) |
| x = 2 y = 3 z = - 1 [style d'affichage] début [aligné] {7}x&&\;&&\;&&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} | R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}
1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} | [ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}](https://www.alegsaonline.com/image/d829fa7a9862dd6a11878142ed5715e56316ecb6.svg) |
La matrice est maintenant sous forme de lignes réduites en échelons. La lecture de cette matrice nous indique que les solutions de ce système d'équations se produisent lorsque x = 2, y = 3, et z = -1.
