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Fonction gamma

Auteur: Leandro Alegsa

09-05-2021

En mathématiques, la fonction gamma (Γ(z)) est une extension de la fonction factorielle à tous les nombres complexes sauf les entiers négatifs. Pour les nombres entiers positifs, elle est définie comme suit : Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1) ! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes. Mais elle n'est pas définie pour les nombres entiers négatifs et zéro. Pour un nombre complexe dont la partie réelle n'est pas un entier négatif, la fonction est définie par :

La fonction gamma le long d'une partie de l'axe réel

Propriétés

Valeurs particulières

Certaines valeurs particulières de la fonction gamma sont :

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\\Gamma (3)&=2 !&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Fonction Pi

Gauss introduit la fonction Pi. C'est une autre façon de désigner la fonction gamma. En ce qui concerne la fonction gamma, la fonction Pi est

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

afin que

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

pour chaque entier non négatif n.

Demandes

Théorie analytique des nombres

La fonction gamma est utilisée pour étudier la fonction zêta de Riemann. Une propriété de la fonction zêta de Riemann est son équation fonctionnelle :

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann a trouvé une relation entre ces deux fonctions. C'était en 1859, dans un article intitulé "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Questions et réponses

Q : Qu'est-ce que la fonction gamma en mathématiques ?

R : La fonction gamma est un sujet clé dans le domaine des fonctions spéciales en mathématiques.

Q : Quelle est l'extension de la fonction factorielle à tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs ?

R : La fonction gamma est une extension de la fonction factorielle à tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs.

Q : Comment la fonction gamma est-elle définie pour les entiers positifs ?

R : Pour les entiers positifs, la fonction gamma est définie comme Γ(n) = (n-1) !

Q : La fonction gamma est-elle définie pour tous les nombres complexes ?

R : Oui, la fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes.

Q : La fonction gamma est-elle définie pour les entiers négatifs et zéro ?

R : Non, la fonction gamma n'est pas définie pour les entiers négatifs et le zéro.

Q : Comment la fonction gamma est-elle définie pour un nombre complexe dont la partie réelle n'est pas un entier négatif ?

R : La fonction gamma est définie pour un nombre complexe dont la partie réelle n'est pas un entier négatif par une formule spécifique qui n'est pas donnée dans le texte.

Q : Pourquoi la fonction gamma est-elle importante en mathématiques ?

R : La fonction gamma est importante en mathématiques parce qu'elle est un sujet clé dans le domaine des fonctions spéciales et qu'elle étend la fonction factorielle à tous les nombres complexes à l'exception des entiers négatifs.