Le théorème fondamental de l'arithmétique établit un principe simple mais central : tout entier naturel strictement supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Cette propriété fait des nombres premiers les « atomes » arithmétiques des entiers et sous-tend de nombreuses constructions et fonctions en théorie des nombres.
Énoncé et forme canonique
Plus précisément, pour tout entier n>1 il existe des nombres premiers p1 < p2 < ... < pk et des entiers positifs a1, a2, ..., ak tels que n = p1^a1 · p2^a2 · ... · pk^ak. On appelle cette écriture la forme factorisée canonique de n. L'unicité signifie que si n admet une autre écriture en produit de premiers, les listes de premiers et leurs exposants coïncident, à la permutation des facteurs près.
Idée des preuves
La démonstration se divise classiquement en deux étapes. D'abord, l'existence : tout entier n>1 possède un diviseur premier. On peut montrer par récurrence que si n n'est pas premier alors il a un diviseur d strictement compris entre 2 et n−1 ; en répétant ce procédé on obtient une factorisation complète en premiers.
Ensuite, l'unicité : on utilise le lemme d'Euclide qui affirme que si un nombre premier p divise le produit ab alors p divise a ou p divise b. En appliquant ce lemme à deux factorisations de n, on montre par récurrence que les mêmes premiers apparaissent avec les mêmes exposants, d'où l'unicité à l'ordre près.
Exemples et écriture pratique
- 1200 = 2^4 · 3 · 5^2, c'est la forme canonique de 1200.
- 6936 = 2^3 · 3 · 17^2, une décomposition explicite pour illustrer la règle.
- Un nombre premier p est lui-même déjà sous forme canonique p = p^1.
Applications et conséquences
La connaissance de la décomposition en facteurs premiers permet de calculer facilement de nombreuses fonctions arithmétiques multiplicatives : le nombre de diviseurs τ(n), la somme des diviseurs σ(n), la fonction indicatrice d'Euler φ(n), etc., s'expriment toutes en fonction des exposants ai et des premiers pi intervenant dans la décomposition.
Sur le plan pratique, la théorie des nombres et la cryptographie moderne exploitent cette propriété : des systèmes comme RSA reposent sur la difficulté pratique de factoriser de grands entiers composés du produit de deux grands premiers, même si la théorie garantit l'existence et l'unicité de la décomposition.
Généralisations et limites
Le théorème fondamental s'étend dans divers cadres algébriques : certains anneaux, comme les anneaux de polynômes sur un corps, possèdent aussi une décomposition unique en irréductibles. Un domaine où la décomposition reste unique est appelé « domaine de factorisation unique » (UFD en anglais).
Cependant, l'unicité peut échouer dans d'autres anneaux d'entiers algébriques. Exemple classique : dans l'anneau Z[√−5], le nombre 6 admet deux factorisations non équivalentes en éléments irréductibles (6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5)), montrant que la propriété n'est pas universelle hors de Z.
Faits remarquables
- La décomposition canonique fournit un langage uniforme pour décrire la structure multiplicative des entiers.
- La preuve originelle remonte à Euclide, qui a établi des résultats clés sur les nombres premiers et leur infinité.
- La difficulté algorithmique de factorisation croît avec la taille des entiers ; des méthodes comme la division naïve, Pollard rho, crible quadratique ou le crible général de corps de nombres sont utilisées en pratique.