La première personne qui a prouvé le théorème a été Euclide. La première preuve détaillée et correcte a été apportée dans les Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Certaines personnes peuvent penser que le théorème est vrai partout. Cependant, le théorème n'est pas vrai dans les systèmes de nombres plus généraux, comme les entiers algébriques. Cela a été mentionné pour la première fois par Ernst Kummer en 1843, dans ses travaux sur le dernier théorème de Fermat. Pour plus d'informations à ce sujet : lire la théorie algébrique des nombres.
La preuve se compose de deux parties : d'abord, nous montrons que chaque nombre peut être écrit comme produit de nombres premiers ; ensuite, nous montrons que si nous écrivons un nombre comme produit de nombres premiers pour la deuxième fois, alors les deux listes de nombres premiers doivent être les mêmes.
Première partie de la preuve
Nous montrons que si tous les nombres supérieurs à 1 ne peuvent pas être écrits comme le produit de nombres premiers, nous nous retrouvons dans une sorte d'impossibilité. Nous en concluons donc qu'il doit être vrai que tout nombre peut être écrit comme un produit de nombres premiers.
Alors, voyons maintenant ce qui se passe quand quelqu'un dit qu'il connaît un entier positif, supérieur à 1, qui ne peut pas être écrit comme un produit de nombres premiers. Dans ce cas, nous lui demandons de mentionner tous les nombres, supérieurs à 1, qui ne peuvent pas être écrits comme produit de nombres premiers. L'un de ces nombres doit être le plus petit : appelons-le n. Bien entendu, ce nombre n ne peut pas être 1. De plus, il ne peut pas être un nombre premier, car un nombre premier est le "produit" d'un seul nombre premier : lui-même. Il doit donc être le produit de nombres. Ainsi -
n = ab
où a et b sont tous deux des entiers positifs qui sont bien sûr plus petits que n. Mais : n est le plus petit nombre qui ne peut être écrit comme produit de nombres premiers. Il doit donc être possible d'écrire a et b comme des produits de nombres premiers, car ils sont tous deux plus petits que n. Mais alors le produit
n = ab
peut également être écrit comme un produit des nombres premiers. C'est une impossibilité car nous avons dit que n ne peut pas être écrit comme un produit de nombres premiers.
Nous avons maintenant montré l'impossibilité qui existe si la première partie du théorème n'était pas vraie. Ainsi, nous avons maintenant prouvé la première partie du théorème.
Deuxième partie de la preuve
Nous devons maintenant prouver qu'il n'y a qu'une seule façon d'écrire un nombre positif supérieur à 1 comme produit de nombres premiers.
Pour ce faire, nous utilisons le lemme suivant : si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b (lemme d'Euclide). Nous commençons par prouver ce lemme. Supposons maintenant que p ne divise pas a. Alors p et a sont des nombres premiers et nous avons l'identité de Bezout qui dit qu'il doit y avoir des nombres entiers x et y tels que
px + ay = 1.
En multipliant tout par b, on obtient
pbx + aby = b,
Rappelez-vous que ab pourrait être divisé par p. Donc, maintenant, à gauche, nous avons deux termes qui sont divisibles par p. Donc, le terme de droite est également divisible par p. Nous avons maintenant prouvé que si p ne divise pas a, il doit diviser b. Cela prouve le lemme.
Nous allons maintenant prouver que nous pouvons écrire un nombre entier supérieur à 1 d'une seule façon comme produit de nombres premiers. Prenons deux produits de nombres premiers A et B qui ont le même résultat. Nous savons donc pour le résultat des produits que A = B. Prenez n'importe quel nombre premier p du premier produit A. Il divise A, donc il divise aussi B. En utilisant plusieurs fois le lemme que nous venons de prouver, nous pouvons voir que p doit alors diviser au moins un facteur b de B. Mais les facteurs sont tous premiers eux-mêmes, donc b est aussi premier. Mais nous savons que p est également premier, donc p doit être égal à b. Donc maintenant, nous divisons A par p et nous divisons également B par p. Et nous obtenons un résultat comme A* = B*. Là encore, nous pouvons prendre un nombre premier p dans le premier produit A* et découvrir qu'il est égal à un certain nombre dans le produit B*. En continuant de cette manière, nous voyons à la fin que les facteurs premiers des deux produits doivent être exactement les mêmes. Cela prouve que nous pouvons écrire un entier positif comme produit des nombres premiers d'une seule et unique manière.
