Théorème fondamental de l'arithmétique
Affirme que tout entier >1 se décompose en un produit de nombres premiers de manière unique (à l'ordre près). Base de la théorie des nombres, utilisée en arithmétique, cryptographie et étude des anneaux.
Le théorème fondamental de l'arithmétique établit un principe simple mais central : tout entier naturel strictement supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Cette propriété fait des nombres premiers les « atomes » arithmétiques des entiers et sous-tend de nombreuses constructions et fonctions en théorie des nombres.
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Énoncé et forme canonique
Plus précisément, pour tout entier n>1 il existe des nombres premiers p1 < p2 < ... < pk et des entiers positifs a1, a2, ..., ak tels que n = p1^a1 · p2^a2 · ... · pk^ak. On appelle cette écriture la forme factorisée canonique de n. L'unicité signifie que si n admet une autre écriture en produit de premiers, les listes de premiers et leurs exposants coïncident, à la permutation des facteurs près.
Idée des preuves
La démonstration se divise classiquement en deux étapes. D'abord, l'existence : tout entier n>1 possède un diviseur premier. On peut montrer par récurrence que si n n'est pas premier alors il a un diviseur d strictement compris entre 2 et n−1 ; en répétant ce procédé on obtient une factorisation complète en premiers.
Ensuite, l'unicité : on utilise le lemme d'Euclide qui affirme que si un nombre premier p divise le produit ab alors p divise a ou p divise b. En appliquant ce lemme à deux factorisations de n, on montre par récurrence que les mêmes premiers apparaissent avec les mêmes exposants, d'où l'unicité à l'ordre près.
Exemples et écriture pratique
- 1200 = 2^4 · 3 · 5^2, c'est la forme canonique de 1200.
- 6936 = 2^3 · 3 · 17^2, une décomposition explicite pour illustrer la règle.
- Un nombre premier p est lui-même déjà sous forme canonique p = p^1.
Applications et conséquences
La connaissance de la décomposition en facteurs premiers permet de calculer facilement de nombreuses fonctions arithmétiques multiplicatives : le nombre de diviseurs τ(n), la somme des diviseurs σ(n), la fonction indicatrice d'Euler φ(n), etc., s'expriment toutes en fonction des exposants ai et des premiers pi intervenant dans la décomposition.
Sur le plan pratique, la théorie des nombres et la cryptographie moderne exploitent cette propriété : des systèmes comme RSA reposent sur la difficulté pratique de factoriser de grands entiers composés du produit de deux grands premiers, même si la théorie garantit l'existence et l'unicité de la décomposition.
Généralisations et limites
Le théorème fondamental s'étend dans divers cadres algébriques : certains anneaux, comme les anneaux de polynômes sur un corps, possèdent aussi une décomposition unique en irréductibles. Un domaine où la décomposition reste unique est appelé « domaine de factorisation unique » (UFD en anglais).
Cependant, l'unicité peut échouer dans d'autres anneaux d'entiers algébriques. Exemple classique : dans l'anneau Z[√−5], le nombre 6 admet deux factorisations non équivalentes en éléments irréductibles (6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5)), montrant que la propriété n'est pas universelle hors de Z.
Faits remarquables
- La décomposition canonique fournit un langage uniforme pour décrire la structure multiplicative des entiers.
- La preuve originelle remonte à Euclide, qui a établi des résultats clés sur les nombres premiers et leur infinité.
- La difficulté algorithmique de factorisation croît avec la taille des entiers ; des méthodes comme la division naïve, Pollard rho, crible quadratique ou le crible général de corps de nombres sont utilisées en pratique.
Preuve
La première personne qui a prouvé le théorème a été Euclide. La première preuve détaillée et correcte a été apportée dans les Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Certaines personnes peuvent penser que le théorème est vrai partout. Cependant, le théorème n'est pas vrai dans les systèmes de nombres plus généraux, comme les entiers algébriques. Cela a été mentionné pour la première fois par Ernst Kummer en 1843, dans ses travaux sur le dernier théorème de Fermat. Pour plus d'informations à ce sujet : lire la théorie algébrique des nombres.
La preuve se compose de deux parties : d'abord, nous montrons que chaque nombre peut être écrit comme produit de nombres premiers ; ensuite, nous montrons que si nous écrivons un nombre comme produit de nombres premiers pour la deuxième fois, alors les deux listes de nombres premiers doivent être les mêmes.
Première partie de la preuve
Nous montrons que si tous les nombres supérieurs à 1 ne peuvent pas être écrits comme le produit de nombres premiers, nous nous retrouvons dans une sorte d'impossibilité. Nous en concluons donc qu'il doit être vrai que tout nombre peut être écrit comme un produit de nombres premiers.
Alors, voyons maintenant ce qui se passe quand quelqu'un dit qu'il connaît un entier positif, supérieur à 1, qui ne peut pas être écrit comme un produit de nombres premiers. Dans ce cas, nous lui demandons de mentionner tous les nombres, supérieurs à 1, qui ne peuvent pas être écrits comme produit de nombres premiers. L'un de ces nombres doit être le plus petit : appelons-le n. Bien entendu, ce nombre n ne peut pas être 1. De plus, il ne peut pas être un nombre premier, car un nombre premier est le "produit" d'un seul nombre premier : lui-même. Il doit donc être le produit de nombres. Ainsi -
n = ab
où a et b sont tous deux des entiers positifs qui sont bien sûr plus petits que n. Mais : n est le plus petit nombre qui ne peut être écrit comme produit de nombres premiers. Il doit donc être possible d'écrire a et b comme des produits de nombres premiers, car ils sont tous deux plus petits que n. Mais alors le produit
n = ab
peut également être écrit comme un produit des nombres premiers. C'est une impossibilité car nous avons dit que n ne peut pas être écrit comme un produit de nombres premiers.
Nous avons maintenant montré l'impossibilité qui existe si la première partie du théorème n'était pas vraie. Ainsi, nous avons maintenant prouvé la première partie du théorème.
Deuxième partie de la preuve
Nous devons maintenant prouver qu'il n'y a qu'une seule façon d'écrire un nombre positif supérieur à 1 comme produit de nombres premiers.
Pour ce faire, nous utilisons le lemme suivant : si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b (lemme d'Euclide). Nous commençons par prouver ce lemme. Supposons maintenant que p ne divise pas a. Alors p et a sont des nombres premiers et nous avons l'identité de Bezout qui dit qu'il doit y avoir des nombres entiers x et y tels que
px + ay = 1.
En multipliant tout par b, on obtient
pbx + aby = b,
Rappelez-vous que ab pourrait être divisé par p. Donc, maintenant, à gauche, nous avons deux termes qui sont divisibles par p. Donc, le terme de droite est également divisible par p. Nous avons maintenant prouvé que si p ne divise pas a, il doit diviser b. Cela prouve le lemme.
Nous allons maintenant prouver que nous pouvons écrire un nombre entier supérieur à 1 d'une seule façon comme produit de nombres premiers. Prenons deux produits de nombres premiers A et B qui ont le même résultat. Nous savons donc pour le résultat des produits que A = B. Prenez n'importe quel nombre premier p du premier produit A. Il divise A, donc il divise aussi B. En utilisant plusieurs fois le lemme que nous venons de prouver, nous pouvons voir que p doit alors diviser au moins un facteur b de B. Mais les facteurs sont tous premiers eux-mêmes, donc b est aussi premier. Mais nous savons que p est également premier, donc p doit être égal à b. Donc maintenant, nous divisons A par p et nous divisons également B par p. Et nous obtenons un résultat comme A* = B*. Là encore, nous pouvons prendre un nombre premier p dans le premier produit A* et découvrir qu'il est égal à un certain nombre dans le produit B*. En continuant de cette manière, nous voyons à la fin que les facteurs premiers des deux produits doivent être exactement les mêmes. Cela prouve que nous pouvons écrire un entier positif comme produit des nombres premiers d'une seule et unique manière.
Questions et réponses
Q : Quel est le théorème fondamental de l'arithmétique ?
R : Le théorème fondamental de l'arithmétique est un théorème de la théorie des nombres qui stipule que tout nombre entier positif supérieur à 1 peut être écrit comme un produit de nombres premiers, et qu'il n'y a qu'une seule façon d'écrire le nombre.
Q : Comment ce théorème peut-il être utilisé ?
R : Ce théorème peut être utilisé en cryptographie.
Q : Que se passe-t-il si deux personnes trouvent deux façons différentes d'écrire le même nombre ?
R : Si deux personnes trouvent deux façons différentes d'écrire le même nombre, alors la seule chose qui peut être différente est l'ordre dans lequel les nombres premiers sont écrits.
Q : Qu'est-ce que la factorisation ?
R : La factorisation consiste à trouver tous les nombres premiers qui composent un nombre donné.
Q : 6936 est-il un exemple de nombre premier ?
R : Non, 6936 n'est pas un nombre premier ; il peut être écrit sous la forme 23 - 3 - 172.
Non, 6936 n'est pas un nombre premier ; il peut s'écrire 23 - 3 - 172.
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Auteur
AlegsaOnline.com Théorème fondamental de l'arithmétique Leandro Alegsa
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