Fonction (mathématiques)

Tableaux

Les entrées et les sorties peuvent être mises dans un tableau comme l'image ; c'est facile s'il n'y a pas trop de données.

Graphiques

Sur la photo, on peut voir que 2 et 3 ont été couplés avec c ; cela n'est pas autorisé dans l'autre sens, 2 ne pourrait pas produire c et d, chaque entrée ne peut avoir qu'une sortie. Toutes les entrées f ( x ) (c et d dans l'image) sont généralement appelés l'ensemble d'images de f {\displaystyle f} et l'ensemble d'images peut être tout le codomaine ou non. On peut dire que le sous-ensemble A du codomaine avec l'ensemble d'images est f(A). Si les entrées et les sorties ont un ordre, il est facile de les tracer sur un graphique : De cette façon, l'image vient sur l'image de l'ensemble A. Cela fera que 2 et 3 sont appariés avec n'est pas autorisé dans l'autre sens, même si l'on peut faire entre les codomaines ou non. On peut en conclure que le sous-ensemble A du codomaine est l'ensemble d'images F(A).

Dans les années 1690, Gottfried Leibniz et Johann Bernoulli ont utilisé le mot fonction en lettres entre elles, de sorte que le concept moderne a commencé en même temps que le calcul.

En 1748, Leonhard Euler a donné : "Une fonction d'une quantité variable est une expression analytique composée de quelque manière que ce soit de la quantité variable et des nombres ou des quantités constantes", puis en 1755 : "Si certaines quantités dépendent tellement d'autres quantités que si ces dernières sont modifiées, la première subit un changement, alors les premières quantités sont appelées fonctions des secondes. Cette définition est d'application assez large et comprend toutes les façons dont une quantité pourrait être déterminée par une autre. Si, par conséquent, x désigne une quantité variable, alors toutes les quantités qui dépendent de x de quelque façon que ce soit, ou qui sont déterminées par lui, sont appelées des fonctions de x", ce qui est très moderne.

En général, on attribue à Dirichlet la version utilisée dans les écoles jusqu'à la seconde moitié du XXe siècle : "y est une fonction d'une variable x, définie sur l'intervalle a < x < b, si à chaque valeur de la variable x dans cet intervalle correspond une valeur définie de la variable y. Aussi, la manière dont cette correspondance est établie n'a pas d'importance".

En 1939, la Bourbaki a généralisé la définition de Dirichlet et a donné une version théorique de la définition comme correspondance entre les entrées et les sorties ; elle a été utilisée dans les écoles à partir de 1960 environ.

Enfin, en 1970, le Bourbaki a donné la définition moderne d'un triple f = ( X , Y , F ) avec F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F} (i.e. f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} and F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}} ).

• Fonctions élémentaires - Les fonctions qui sont généralement étudiées à l'école : les fractions, les racines carrées, les fonctions sinus, cosinus et tangentes et quelques autres fonctions.
• Fonctions non élémentaires - La plupart d'entre elles n'utilisent pas des opérations que nous n'apprenons pas à l'école (comme le + ou le -, ou les pouvoirs). De nombreuses intégrales sont non élémentaires.
• Fonctions inverses - Fonctions qui annulent une autre fonction. Par exemple : si F(x) est l'inverse de f(x)=y, alors F(y)=x. Toutes les fonctions n'ont pas d'inverse.
• Fonctions spéciales : Fonctions qui ont un nom. Par exemple : sinus, cosinus et tangente. Les fonctions comme f(x)=3x (trois fois x) ne sont pas appelées fonctions spéciales. Elles peuvent être élémentaires, non élémentaires ou inverses.