Nombres de Fibonacci : définition, formule et exemples
Découvrez les nombres de Fibonacci : définition claire, formule de récurrence, exemples illustrés et applications étonnantes en mathématiques, nature et informatique.
Les nombres de Fibonacci sont une séquence de nombres en mathématiques nommée d'après Léonard de Pise, connue sous le nom de Fibonacci. Fibonacci a écrit un livre en 1202, appelé Liber Abaci ("Livre de calcul"), qui a introduit la séquence de nombres dans les mathématiques d'Europe occidentale, bien que les mathématiciens indiens en aient déjà entendu parler.
Le premier chiffre du modèle est 0, le second est 1, et chaque chiffre suivant est égal à l'addition des deux chiffres qui le précèdent. Par exemple, 0+1=1 et 3+5=8. Cette séquence se poursuit indéfiniment.
Cela peut s'écrire comme une relation de récurrence,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}
Pour que cela ait un sens, il faut donner au moins deux points de départ. Ici, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
et F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Premiers termes et exemples
En partant de F0 = 0 et F1 = 1, les premiers termes de la suite sont :
- F0 = 0
- F1 = 1
- F2 = F1 + F0 = 1
- F3 = F2 + F1 = 2
- F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89, F12 = 144, ...
Exemple de calcul : pour obtenir F6 on additionne F5 (5) et F4 (3) : 5 + 3 = 8.
Formule explicite (formule de Binet)
La suite de Fibonacci admet une formule explicite appelée formule de Binet. En posant φ = (1 + √5)/2 (le nombre d'or) et ψ = (1 − √5)/2, on a :
Fn = (φn − ψn) / √5
Cette expression permet de calculer directement Fn sans parcourir tous les termes précédents. Pour les n assez grands, ψn devient très petit et Fn est très proche de φn/√5.
Propriétés importantes
- Rapport des termes : le rapport Fn+1/Fn tend vers φ ≈ 1,618 lorsque n → ∞.
- Génératrice : la fonction génératrice de la suite est G(x) = x / (1 − x − x²). Elle résume la suite dans une série formelle.
- Identités classiques :
- Somme des n premiers termes : F0 + F1 + ... + Fn = Fn+2 − 1.
- Identité de Cassini : Fn−1·Fn+1 − Fn² = (−1)n.
- Représentation matricielle : en posant A = [[1,1],[1,0]], on a An = [[Fn+1, Fn],[Fn, Fn−1]]. Cette relation est utile pour calculer Fn rapidement par exponentiation binaire.
- Périodicité modulo m : pour tout entier m ≥ 2, la suite (Fn mod m) est périodique ; la période est appelée période de Pisano.
Interprétations combinatoires et modèles
- Problème des lapins : L'interprétation historique de Fibonacci représente le nombre de paires de lapins après n mois selon une reproduction simple, donnant la suite de Fibonacci.
- Combinatoire : Le nombre de façons de couvrir un segment de longueur n par des tuiles de taille 1 (carrés) et 2 (dominos) est Fn+1.
Applications et occurrences
- Nature : on retrouve des motifs liés aux nombres de Fibonacci et au nombre d'or dans la phyllotaxie (disposition des feuilles, spirales de graines de tournesol, etc.).
- Informatique : la suite intervient dans l'analyse d'algorithmes (par exemple, dans les algorithmes récursifs) et dans les structures de données telles que le tas de Fibonacci.
- Théorie des nombres : les propriétés modulo m, les identités et les relations avec d'autres suites en font un objet d'étude riche.
Remarques finales
La suite de Fibonacci est à la fois simple à définir et étonnamment riche : elle relie algèbre, combinatoire, géométrie et applications réelles. Les nombreuses identités et généralisations (comme les suites de Lucas ou les suites définies par des relations linéaires similaires) montrent l'importance de cette suite dans différents domaines des mathématiques.
Questions et réponses
Q : Qu'est-ce que la séquence de Fibonacci ?
R : La séquence de Fibonacci est un modèle de nombres en mathématiques nommé d'après Léonard de Pise, dit Fibonacci. Elle commence par 0 et 1, et chaque nombre suivant est égal à l'addition des deux nombres qui le précèdent.
Q : Qui a introduit ce schéma numérique dans les mathématiques d'Europe occidentale ?
R : Fibonacci a écrit un livre en 1202 intitulé Liber Abaci ("Livre du calcul"), qui a introduit le modèle de nombres dans les mathématiques d'Europe occidentale, bien que les mathématiciens indiens le connaissaient déjà.
Q : Comment peut-on écrire la séquence de Fibonacci ?
R : La suite de Fibonacci peut être écrite comme une relation de récurrence, où F_n = F_n-1 + F_n-2 pour n ≥ 2.
Q : Quels sont les points de départ de cette relation de récurrence ?
R : Pour que cela ait un sens, il faut donner au moins deux points de départ. Ici, F_0 = 0 et F_1 = 1.
Q : La séquence de Fibonacci est-elle infinie ?
R : Oui, la séquence est éternelle.
Q : Où les mathématiciens ont-ils découvert cette suite de nombres ? R : Les mathématiciens indiens connaissaient déjà cette suite de nombres avant qu'elle ne soit introduite en Europe occidentale par Léonard de Pise (Fibonacci).
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