Numéro de Fibonacci

Les nombres de Fibonacci sont une séquence de nombres en mathématiques nommée d'après Léonard de Pise, connue sous le nom de Fibonacci. Fibonacci a écrit un livre en 1202, appelé Liber Abaci ("Livre de calcul"), qui a introduit la séquence de nombres dans les mathématiques d'Europe occidentale, bien que les mathématiciens indiens en aient déjà entendu parler.

Le premier chiffre du modèle est 0, le second est 1, et chaque chiffre suivant est égal à l'addition des deux chiffres qui le précèdent. Par exemple, 0+1=1 et 3+5=8. Cette séquence se poursuit indéfiniment.

Cela peut s'écrire comme une relation de récurrence,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Pour que cela ait un sens, il faut donner au moins deux points de départ. Ici, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0} et F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Une spirale de Fibonacci créée en traçant une ligne à travers les carrés du carrelage de Fibonacci ; celui-ci utilise des carrés de taille 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34 ; voir spirale d'or
Une spirale de Fibonacci créée en traçant une ligne à travers les carrés du carrelage de Fibonacci ; celui-ci utilise des carrés de taille 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34 ; voir spirale d'or

Les nombres de Fibonacci dans la nature

Les nombres de Fibonacci sont liés au nombre d'or, qui apparaît à de nombreux endroits dans les bâtiments et dans la nature. Quelques exemples sont le motif des feuilles sur une tige, les parties d'un ananas, la floraison d'un artichaut, le déroulement d'une fougère et la disposition d'une pomme de pin. Les nombres de Fibonacci se retrouvent également dans l'arbre généalogique des abeilles.

Tête de tournesol présentant des fleurons en spirales de 34 et 55 sur le pourtour
Tête de tournesol présentant des fleurons en spirales de 34 et 55 sur le pourtour

La formule de Binet

Le nième nombre de Fibonacci peut être écrit en termes de nombre d'or. Cela évite de devoir utiliser la récursion pour calculer les nombres de Fibonacci, ce qui peut prendre beaucoup de temps à un ordinateur.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}{\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} le nombre d'or.



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